Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76363 / 73235
↖ ↑ ↗
← S 20.681614°
E 29.737244°		 ← 285.74 m → S 20.681614°
E 29.739990°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
S 20.684184°
E 29.737244°		 ← 285.74 m →
81 647 m²		 S 20.684184°
E 29.739990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582607269287109 y=0.558742523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582607269287109 × 217)
    floor (0.582607269287109 × 131072)
    floor (76363.5)     		tx = 76363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558742523193359 × 217)
    floor (0.558742523193359 × 131072)
    floor (73235.5)     		ty = 73235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76363 / 73235 ti = "17/76363/73235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76363/73235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76363 ÷ 217
    76363 ÷ 131072     		x = 0.582603454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73235 ÷ 217
    73235 ÷ 131072     		y = 0.558738708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582603454589844 × 2 - 1) × π
    0.165206909179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51901281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558738708496094 × 2 - 1) × π
    -0.117477416992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.369066190174812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51901281} λ = 0.51901281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369066190174812))-π/2
    2×atan(0.691379646396103)-π/2
    2×0.604917032054734-π/2
    1.20983406410947-1.57079632675     		φ = -0.36096226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51901281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.737244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36096226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.681614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76363 KachelY 73235 0.51901281 -0.36096226 29.737244 -20.681614
    Oben rechts KachelX + 1 76364 KachelY 73235 0.51906075 -0.36096226 29.739990 -20.681614
    Unten links KachelX 76363 KachelY + 1 73236 0.51901281 -0.36100711 29.737244 -20.684184
    Unten rechts KachelX + 1 76364 KachelY + 1 73236 0.51906075 -0.36100711 29.739990 -20.684184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36096226--0.36100711) × R
    4.48500000000407e-05 × 6371000     		dl = 285.739350000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36096226--0.36100711) × R
    4.48500000000407e-05 × 6371000     		dr = 285.739350000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51901281-0.51906075) × cos(-0.36096226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935557411032402 × 6371000     		do = 285.743314576868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51901281-0.51906075) × cos(-0.36100711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935541570208581 × 6371000     		du = 285.73847638153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36096226)-sin(-0.36100711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935557411032402-0.935541570208581)×R²
    abs(0.51906075-0.51901281)×1.58408238206675e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58408238206675e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58408238206675e-05×40589641000000     		ar = 81647.4177563937m²