Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76361 / 73245
↖ ↑ ↗
← S 20.707308°
E 29.731751°		 ← 285.69 m → S 20.707308°
E 29.734497°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
S 20.709877°
E 29.731751°		 ← 285.69 m →
81 615 m²		 S 20.709877°
E 29.734497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582592010498047 y=0.558818817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582592010498047 × 217)
    floor (0.582592010498047 × 131072)
    floor (76361.5)     		tx = 76361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558818817138672 × 217)
    floor (0.558818817138672 × 131072)
    floor (73245.5)     		ty = 73245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76361 / 73245 ti = "17/76361/73245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76361/73245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76361 ÷ 217
    76361 ÷ 131072     		x = 0.582588195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73245 ÷ 217
    73245 ÷ 131072     		y = 0.558815002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582588195800781 × 2 - 1) × π
    0.165176391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51891694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558815002441406 × 2 - 1) × π
    -0.117630004882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.369545559171013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51891694} λ = 0.51891694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369545559171013))-π/2
    2×atan(0.691048299853992)-π/2
    2×0.604692812434806-π/2
    1.20938562486961-1.57079632675     		φ = -0.36141070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51891694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.731751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36141070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.707308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76361 KachelY 73245 0.51891694 -0.36141070 29.731751 -20.707308
    Oben rechts KachelX + 1 76362 KachelY 73245 0.51896488 -0.36141070 29.734497 -20.707308
    Unten links KachelX 76361 KachelY + 1 73246 0.51891694 -0.36145554 29.731751 -20.709877
    Unten rechts KachelX + 1 76362 KachelY + 1 73246 0.51896488 -0.36145554 29.734497 -20.709877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36141070--0.36145554) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dl = 285.675640000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36141070--0.36145554) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dr = 285.675640000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51891694-0.51896488) × cos(-0.36141070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93539893932984 × 6371000     		do = 285.694913239844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51891694-0.51896488) × cos(-0.36145554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935383083227703 × 6371000     		du = 285.690070378115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36141070)-sin(-0.36145554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93539893932984-0.935383083227703)×R²
    abs(0.51896488-0.51891694)×1.58561021371684e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58561021371684e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58561021371684e-05×40589641000000     		ar = 81615.3854544386m²