Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76360 / 73258
↖ ↑ ↗
← S 20.740703°
E 29.729004°		 ← 285.63 m → S 20.740703°
E 29.731751°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
S 20.743272°
E 29.729004°		 ← 285.63 m →
81 579 m²		 S 20.743272°
E 29.731751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582584381103516 y=0.558917999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582584381103516 × 217)
    floor (0.582584381103516 × 131072)
    floor (76360.5)     		tx = 76360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558917999267578 × 217)
    floor (0.558917999267578 × 131072)
    floor (73258.5)     		ty = 73258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76360 / 73258 ti = "17/76360/73258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76360/73258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76360 ÷ 217
    76360 ÷ 131072     		x = 0.58258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73258 ÷ 217
    73258 ÷ 131072     		y = 0.558914184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558914184570312 × 2 - 1) × π
    -0.117828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.370168738866074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51886900} λ = 0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370168738866074))-π/2
    2×atan(0.690617786742664)-π/2
    2×0.604401383748363-π/2
    1.20880276749673-1.57079632675     		φ = -0.36199356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36199356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.740703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76360 KachelY 73258 0.51886900 -0.36199356 29.729004 -20.740703
    Oben rechts KachelX + 1 76361 KachelY 73258 0.51891694 -0.36199356 29.731751 -20.740703
    Unten links KachelX 76360 KachelY + 1 73259 0.51886900 -0.36203839 29.729004 -20.743272
    Unten rechts KachelX + 1 76361 KachelY + 1 73259 0.51891694 -0.36203839 29.731751 -20.743272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36199356--0.36203839) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36199356--0.36203839) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51886900-0.51891694) × cos(-0.36199356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935192684564535 × 6371000     		do = 285.631917725522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51886900-0.51891694) × cos(-0.36203839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935176807560047 × 6371000     		du = 285.627068479678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36199356)-sin(-0.36203839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935192684564535-0.935176807560047)×R²
    abs(0.51891694-0.51886900)×1.58770044880185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58770044880185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58770044880185e-05×40589641000000     		ar = 81579.1908035954m²