Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76360 / 73254
↖ ↑ ↗
← S 20.730428°
E 29.729004°		 ← 285.65 m → S 20.730428°
E 29.731751°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
S 20.732997°
E 29.729004°		 ← 285.65 m →
81 603 m²		 S 20.732997°
E 29.731751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582584381103516 y=0.558887481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582584381103516 × 217)
    floor (0.582584381103516 × 131072)
    floor (76360.5)     		tx = 76360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558887481689453 × 217)
    floor (0.558887481689453 × 131072)
    floor (73254.5)     		ty = 73254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76360 / 73254 ti = "17/76360/73254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76360/73254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76360 ÷ 217
    76360 ÷ 131072     		x = 0.58258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73254 ÷ 217
    73254 ÷ 131072     		y = 0.558883666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558883666992188 × 2 - 1) × π
    -0.117767333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.369976991267593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51886900} λ = 0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369976991267593))-π/2
    2×atan(0.690750223741572)-π/2
    2×0.60449104726788-π/2
    1.20898209453576-1.57079632675     		φ = -0.36181423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36181423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.730428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76360 KachelY 73254 0.51886900 -0.36181423 29.729004 -20.730428
    Oben rechts KachelX + 1 76361 KachelY 73254 0.51891694 -0.36181423 29.731751 -20.730428
    Unten links KachelX 76360 KachelY + 1 73255 0.51886900 -0.36185907 29.729004 -20.732997
    Unten rechts KachelX + 1 76361 KachelY + 1 73255 0.51891694 -0.36185907 29.731751 -20.732997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36181423--0.36185907) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dl = 285.675639999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36181423--0.36185907) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dr = 285.675639999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51886900-0.51891694) × cos(-0.36181423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935256177327046 × 6371000     		do = 285.651310049497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51886900-0.51891694) × cos(-0.36185907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935240304300969 × 6371000     		du = 285.646462018761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36181423)-sin(-0.36185907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935256177327046-0.935240304300969)×R²
    abs(0.51891694-0.51886900)×1.58730260774176e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58730260774176e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58730260774176e-05×40589641000000     		ar = 81602.9283467244m²