Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76359 / 73252
↖ ↑ ↗
← S 20.725291°
E 29.726257°		 ← 285.66 m → S 20.725291°
E 29.729004°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
S 20.727860°
E 29.726257°		 ← 285.66 m →
81 606 m²		 S 20.727860°
E 29.729004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582576751708984 y=0.558872222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582576751708984 × 217)
    floor (0.582576751708984 × 131072)
    floor (76359.5)     		tx = 76359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558872222900391 × 217)
    floor (0.558872222900391 × 131072)
    floor (73252.5)     		ty = 73252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76359 / 73252 ti = "17/76359/73252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76359/73252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76359 ÷ 217
    76359 ÷ 131072     		x = 0.582572937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73252 ÷ 217
    73252 ÷ 131072     		y = 0.558868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582572937011719 × 2 - 1) × π
    0.165145874023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51882106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558868408203125 × 2 - 1) × π
    -0.11773681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.369881117468353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51882106} λ = 0.51882106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369881117468353))-π/2
    2×atan(0.690816451764563)-π/2
    2×0.604535881310026-π/2
    1.20907176262005-1.57079632675     		φ = -0.36172456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51882106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.726257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36172456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.725291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76359 KachelY 73252 0.51882106 -0.36172456 29.726257 -20.725291
    Oben rechts KachelX + 1 76360 KachelY 73252 0.51886900 -0.36172456 29.729004 -20.725291
    Unten links KachelX 76359 KachelY + 1 73253 0.51882106 -0.36176940 29.726257 -20.727860
    Unten rechts KachelX + 1 76360 KachelY + 1 73253 0.51886900 -0.36176940 29.729004 -20.727860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36172456--0.36176940) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dl = 285.675640000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36172456--0.36176940) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dr = 285.675640000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51882106-0.51886900) × cos(-0.36172456) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935287914198942 × 6371000     		do = 285.661003307743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51882106-0.51886900) × cos(-0.36176940) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935272044933377 × 6371000     		du = 285.656156425564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36172456)-sin(-0.36176940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935287914198942-0.935272044933377)×R²
    abs(0.51886900-0.51882106)×1.58692655648496e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.58692655648496e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.58692655648496e-05×40589641000000     		ar = 81605.6976386319m²