Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76358 / 73253
↖ ↑ ↗
← S 20.727860°
E 29.723511°		 ← 285.60 m → S 20.727860°
E 29.726257°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
S 20.730428°
E 29.723511°		 ← 285.59 m →
81 569 m²		 S 20.730428°
E 29.726257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582569122314453 y=0.558879852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582569122314453 × 217)
    floor (0.582569122314453 × 131072)
    floor (76358.5)     		tx = 76358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558879852294922 × 217)
    floor (0.558879852294922 × 131072)
    floor (73253.5)     		ty = 73253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76358 / 73253 ti = "17/76358/73253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76358/73253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76358 ÷ 217
    76358 ÷ 131072     		x = 0.582565307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73253 ÷ 217
    73253 ÷ 131072     		y = 0.558876037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582565307617188 × 2 - 1) × π
    0.165130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51877313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558876037597656 × 2 - 1) × π
    -0.117752075195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.369929054367973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51877313} λ = 0.51877313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369929054367973))-π/2
    2×atan(0.690783336959376)-π/2
    2×0.604513464098786-π/2
    1.20902692819757-1.57079632675     		φ = -0.36176940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51877313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.723511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36176940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.727860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76358 KachelY 73253 0.51877313 -0.36176940 29.723511 -20.727860
    Oben rechts KachelX + 1 76359 KachelY 73253 0.51882106 -0.36176940 29.726257 -20.727860
    Unten links KachelX 76358 KachelY + 1 73254 0.51877313 -0.36181423 29.723511 -20.730428
    Unten rechts KachelX + 1 76359 KachelY + 1 73254 0.51882106 -0.36181423 29.726257 -20.730428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36176940--0.36181423) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36176940--0.36181423) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51877313-0.51882106) × cos(-0.36176940) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.935272044933377 × 6371000     		do = 285.596570242621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51877313-0.51882106) × cos(-0.36181423) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.935256177327046 × 6371000     		du = 285.59172487814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36176940)-sin(-0.36181423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935272044933377-0.935256177327046)×R²
    abs(0.51882106-0.51877313)×1.58676063309882e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.58676063309882e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.58676063309882e-05×40589641000000     		ar = 81569.0956950749m²