Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76357 / 73260
↖ ↑ ↗
← S 20.745840°
E 29.720764°		 ← 285.62 m → S 20.745840°
E 29.723511°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
S 20.748409°
E 29.720764°		 ← 285.62 m →
81 576 m²		 S 20.748409°
E 29.723511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582561492919922 y=0.558933258056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582561492919922 × 217)
    floor (0.582561492919922 × 131072)
    floor (76357.5)     		tx = 76357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558933258056641 × 217)
    floor (0.558933258056641 × 131072)
    floor (73260.5)     		ty = 73260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76357 / 73260 ti = "17/76357/73260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76357/73260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76357 ÷ 217
    76357 ÷ 131072     		x = 0.582557678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73260 ÷ 217
    73260 ÷ 131072     		y = 0.558929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582557678222656 × 2 - 1) × π
    0.165115356445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51872519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.370264612665314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51872519} λ = 0.51872519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370264612665314))-π/2
    2×atan(0.69055157776553)-π/2
    2×0.604356554271611-π/2
    1.20871310854322-1.57079632675     		φ = -0.36208322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51872519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.720764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36208322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.745840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76357 KachelY 73260 0.51872519 -0.36208322 29.720764 -20.745840
    Oben rechts KachelX + 1 76358 KachelY 73260 0.51877313 -0.36208322 29.723511 -20.745840
    Unten links KachelX 76357 KachelY + 1 73261 0.51872519 -0.36212805 29.720764 -20.748409
    Unten rechts KachelX + 1 76358 KachelY + 1 73261 0.51877313 -0.36212805 29.723511 -20.748409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36208322--0.36212805) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36208322--0.36212805) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51872519-0.51877313) × cos(-0.36208322) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935160928676107 × 6371000     		do = 285.622218660461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51872519-0.51877313) × cos(-0.36212805) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935145047912748 × 6371000     		du = 285.617368266561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36208322)-sin(-0.36212805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935160928676107-0.935145047912748)×R²
    abs(0.51877313-0.51872519)×1.58807633597879e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.58807633597879e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.58807633597879e-05×40589641000000     		ar = 81576.4204709947m²