Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76351 / 73223
↖ ↑ ↗
← S 20.650776°
E 29.704285°		 ← 285.80 m → S 20.650776°
E 29.707031°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
S 20.653346°
E 29.704285°		 ← 285.80 m →
81 664 m²		 S 20.653346°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582515716552734 y=0.558650970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582515716552734 × 217)
    floor (0.582515716552734 × 131072)
    floor (76351.5)     		tx = 76351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558650970458984 × 217)
    floor (0.558650970458984 × 131072)
    floor (73223.5)     		ty = 73223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76351 / 73223 ti = "17/76351/73223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76351/73223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76351 ÷ 217
    76351 ÷ 131072     		x = 0.582511901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73223 ÷ 217
    73223 ÷ 131072     		y = 0.558647155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582511901855469 × 2 - 1) × π
    0.165023803710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51843757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558647155761719 × 2 - 1) × π
    -0.117294311523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.368490947379372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51843757} λ = 0.51843757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368490947379372))-π/2
    2×atan(0.691777471968784)-π/2
    2×0.605186145707476-π/2
    1.21037229141495-1.57079632675     		φ = -0.36042404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51843757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.704285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36042404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.650776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76351 KachelY 73223 0.51843757 -0.36042404 29.704285 -20.650776
    Oben rechts KachelX + 1 76352 KachelY 73223 0.51848551 -0.36042404 29.707031 -20.650776
    Unten links KachelX 76351 KachelY + 1 73224 0.51843757 -0.36046889 29.704285 -20.653346
    Unten rechts KachelX + 1 76352 KachelY + 1 73224 0.51848551 -0.36046889 29.707031 -20.653346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36042404--0.36046889) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dl = 285.739349999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36042404--0.36046889) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dr = 285.739349999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51843757-0.51848551) × cos(-0.36042404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935747361174768 × 6371000     		do = 285.801330239663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51843757-0.51848551) × cos(-0.36046889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935731542936626 × 6371000     		du = 285.796498942573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36042404)-sin(-0.36046889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935747361174768-0.935731542936626)×R²
    abs(0.51848551-0.51843757)×1.58182381418959e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58182381418959e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58182381418959e-05×40589641000000     		ar = 81663.9960996524m²