Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76349 / 73242
↖ ↑ ↗
← S 20.699600°
E 29.698792°		 ← 285.65 m → S 20.699600°
E 29.701538°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
S 20.702169°
E 29.698792°		 ← 285.65 m →
81 603 m²		 S 20.702169°
E 29.701538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582500457763672 y=0.558795928955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582500457763672 × 217)
    floor (0.582500457763672 × 131072)
    floor (76349.5)     		tx = 76349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558795928955078 × 217)
    floor (0.558795928955078 × 131072)
    floor (73242.5)     		ty = 73242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76349 / 73242 ti = "17/76349/73242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76349/73242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76349 ÷ 217
    76349 ÷ 131072     		x = 0.582496643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73242 ÷ 217
    73242 ÷ 131072     		y = 0.558792114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582496643066406 × 2 - 1) × π
    0.164993286132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51834170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558792114257812 × 2 - 1) × π
    -0.117584228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.369401748472153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51834170} λ = 0.51834170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369401748472153))-π/2
    2×atan(0.691147687139246)-π/2
    2×0.604760074332283-π/2
    1.20952014866457-1.57079632675     		φ = -0.36127618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51834170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.698792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36127618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.699600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76349 KachelY 73242 0.51834170 -0.36127618 29.698792 -20.699600
    Oben rechts KachelX + 1 76350 KachelY 73242 0.51838963 -0.36127618 29.701538 -20.699600
    Unten links KachelX 76349 KachelY + 1 73243 0.51834170 -0.36132102 29.698792 -20.702169
    Unten rechts KachelX + 1 76350 KachelY + 1 73243 0.51838963 -0.36132102 29.701538 -20.702169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36127618--0.36132102) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dl = 285.675639999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36127618--0.36132102) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dr = 285.675639999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51834170-0.51838963) × cos(-0.36127618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935446496351702 × 6371000     		do = 285.649841082518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51834170-0.51838963) × cos(-0.36132102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935430645891871 × 6371000     		du = 285.645000953928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36127618)-sin(-0.36132102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935446496351702-0.935430645891871)×R²
    abs(0.51838963-0.51834170)×1.58504598303244e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58504598303244e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58504598303244e-05×40589641000000     		ar = 81602.5098273852m²