Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76348 / 73244
↖ ↑ ↗
← S 20.704739°
E 29.696045°		 ← 285.70 m → S 20.704739°
E 29.698792°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
S 20.707308°
E 29.696045°		 ← 285.69 m →
81 617 m²		 S 20.707308°
E 29.698792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582492828369141 y=0.558811187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582492828369141 × 217)
    floor (0.582492828369141 × 131072)
    floor (76348.5)     		tx = 76348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558811187744141 × 217)
    floor (0.558811187744141 × 131072)
    floor (73244.5)     		ty = 73244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76348 / 73244 ti = "17/76348/73244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76348/73244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76348 ÷ 217
    76348 ÷ 131072     		x = 0.582489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73244 ÷ 217
    73244 ÷ 131072     		y = 0.558807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582489013671875 × 2 - 1) × π
    0.16497802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51829376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558807373046875 × 2 - 1) × π
    -0.11761474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.369497622271393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51829376} λ = 0.51829376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369497622271393))-π/2
    2×atan(0.691081427360983)-π/2
    2×0.604715232687325-π/2
    1.20943046537465-1.57079632675     		φ = -0.36136586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51829376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.696045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36136586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.704739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76348 KachelY 73244 0.51829376 -0.36136586 29.696045 -20.704739
    Oben rechts KachelX + 1 76349 KachelY 73244 0.51834170 -0.36136586 29.698792 -20.704739
    Unten links KachelX 76348 KachelY + 1 73245 0.51829376 -0.36141070 29.696045 -20.707308
    Unten rechts KachelX + 1 76349 KachelY + 1 73245 0.51834170 -0.36141070 29.698792 -20.707308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36136586--0.36141070) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dl = 285.675639999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36136586--0.36141070) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dr = 285.675639999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51829376-0.51834170) × cos(-0.36136586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93541479355124 × 6371000     		do = 285.699755527147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51829376-0.51834170) × cos(-0.36141070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93539893932984 × 6371000     		du = 285.694913239844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36136586)-sin(-0.36141070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93541479355124-0.93539893932984)×R²
    abs(0.51834170-0.51829376)×1.58542214000468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58542214000468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58542214000468e-05×40589641000000     		ar = 81616.7688599347m²