Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76346 / 73272
↖ ↑ ↗
← S 20.776659°
E 29.690551°		 ← 285.56 m → S 20.776659°
E 29.693298°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
S 20.779227°
E 29.690551°		 ← 285.56 m →
81 542 m²		 S 20.779227°
E 29.693298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582477569580078 y=0.559024810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582477569580078 × 217)
    floor (0.582477569580078 × 131072)
    floor (76346.5)     		tx = 76346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559024810791016 × 217)
    floor (0.559024810791016 × 131072)
    floor (73272.5)     		ty = 73272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76346 / 73272 ti = "17/76346/73272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76346/73272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76346 ÷ 217
    76346 ÷ 131072     		x = 0.582473754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73272 ÷ 217
    73272 ÷ 131072     		y = 0.55902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582473754882812 × 2 - 1) × π
    0.164947509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51819788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.1180419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.370839855460754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51819788} λ = 0.51819788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370839855460754))-π/2
    2×atan(0.690154457176869)-π/2
    2×0.604087609392619-π/2
    1.20817521878524-1.57079632675     		φ = -0.36262111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51819788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.690551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36262111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.776659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76346 KachelY 73272 0.51819788 -0.36262111 29.690551 -20.776659
    Oben rechts KachelX + 1 76347 KachelY 73272 0.51824582 -0.36262111 29.693298 -20.776659
    Unten links KachelX 76346 KachelY + 1 73273 0.51819788 -0.36266593 29.690551 -20.779227
    Unten rechts KachelX + 1 76347 KachelY + 1 73273 0.51824582 -0.36266593 29.693298 -20.779227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36262111--0.36266593) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36262111--0.36266593) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51819788-0.51824582) × cos(-0.36262111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934970260314034 × 6371000     		do = 285.563983634219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51819788-0.51824582) × cos(-0.36266593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93495436055074 × 6371000     		du = 285.559127437249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36262111)-sin(-0.36266593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934970260314034-0.93495436055074)×R²
    abs(0.51824582-0.51819788)×1.58997632944136e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58997632944136e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58997632944136e-05×40589641000000     		ar = 81541.5938972583m²