Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76345 / 73278
↖ ↑ ↗
← S 20.792066°
E 29.687805°		 ← 285.48 m → S 20.792066°
E 29.690551°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
S 20.794634°
E 29.687805°		 ← 285.47 m →
81 516 m²		 S 20.794634°
E 29.690551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582469940185547 y=0.559070587158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582469940185547 × 217)
    floor (0.582469940185547 × 131072)
    floor (76345.5)     		tx = 76345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559070587158203 × 217)
    floor (0.559070587158203 × 131072)
    floor (73278.5)     		ty = 73278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76345 / 73278 ti = "17/76345/73278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76345/73278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76345 ÷ 217
    76345 ÷ 131072     		x = 0.582466125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73278 ÷ 217
    73278 ÷ 131072     		y = 0.559066772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582466125488281 × 2 - 1) × π
    0.164932250976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51814995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559066772460938 × 2 - 1) × π
    -0.118133544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.371127476858475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51814995} λ = 0.51814995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371127476858475))-π/2
    2×atan(0.689955982531399)-π/2
    2×0.603953157526553-π/2
    1.20790631505311-1.57079632675     		φ = -0.36289001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51814995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.687805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36289001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.792066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76345 KachelY 73278 0.51814995 -0.36289001 29.687805 -20.792066
    Oben rechts KachelX + 1 76346 KachelY 73278 0.51819788 -0.36289001 29.690551 -20.792066
    Unten links KachelX 76345 KachelY + 1 73279 0.51814995 -0.36293483 29.687805 -20.794634
    Unten rechts KachelX + 1 76346 KachelY + 1 73279 0.51819788 -0.36293483 29.690551 -20.794634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36289001--0.36293483) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36289001--0.36293483) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51814995-0.51819788) × cos(-0.36289001) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934874840661958 × 6371000     		do = 285.475279140637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51814995-0.51819788) × cos(-0.36293483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934858929630981 × 6371000     		du = 285.470420515918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36289001)-sin(-0.36293483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934874840661958-0.934858929630981)×R²
    abs(0.51819788-0.51814995)×1.59110309768673e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59110309768673e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59110309768673e-05×40589641000000     		ar = 81516.2641404451m²