Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76344 / 73221
↖ ↑ ↗
← S 20.645636°
E 29.685059°		 ← 285.81 m → S 20.645636°
E 29.687805°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.648206°
E 29.685059°		 ← 285.81 m →
81 685 m²		 S 20.648206°
E 29.687805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582462310791016 y=0.558635711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582462310791016 × 217)
    floor (0.582462310791016 × 131072)
    floor (76344.5)     		tx = 76344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558635711669922 × 217)
    floor (0.558635711669922 × 131072)
    floor (73221.5)     		ty = 73221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76344 / 73221 ti = "17/76344/73221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76344/73221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76344 ÷ 217
    76344 ÷ 131072     		x = 0.58245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73221 ÷ 217
    73221 ÷ 131072     		y = 0.558631896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58245849609375 × 2 - 1) × π
    0.1649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51810201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558631896972656 × 2 - 1) × π
    -0.117263793945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.368395073580132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51810201} λ = 0.51810201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368395073580132))-π/2
    2×atan(0.691843798482687)-π/2
    2×0.605231003293172-π/2
    1.21046200658634-1.57079632675     		φ = -0.36033432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51810201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.685059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36033432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.645636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76344 KachelY 73221 0.51810201 -0.36033432 29.685059 -20.645636
    Oben rechts KachelX + 1 76345 KachelY 73221 0.51814995 -0.36033432 29.687805 -20.645636
    Unten links KachelX 76344 KachelY + 1 73222 0.51810201 -0.36037918 29.685059 -20.648206
    Unten rechts KachelX + 1 76345 KachelY + 1 73222 0.51814995 -0.36037918 29.687805 -20.648206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36033432--0.36037918) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dl = 285.803060000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36033432--0.36037918) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dr = 285.803060000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51810201-0.51814995) × cos(-0.36033432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935778999055931 × 6371000     		do = 285.81099326293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51810201-0.51814995) × cos(-0.36037918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935763181056923 × 6371000     		du = 285.806162038877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36033432)-sin(-0.36037918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935778999055931-0.935763181056923)×R²
    abs(0.51814995-0.51810201)×1.58179990077389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58179990077389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58179990077389e-05×40589641000000     		ar = 81684.9660806364m²