Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76342 / 73276
↖ ↑ ↗
← S 20.786931°
E 29.679566°		 ← 285.48 m → S 20.786931°
E 29.682312°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
S 20.789499°
E 29.679566°		 ← 285.48 m →
81 519 m²		 S 20.789499°
E 29.682312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582447052001953 y=0.559055328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582447052001953 × 217)
    floor (0.582447052001953 × 131072)
    floor (76342.5)     		tx = 76342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559055328369141 × 217)
    floor (0.559055328369141 × 131072)
    floor (73276.5)     		ty = 73276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76342 / 73276 ti = "17/76342/73276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76342/73276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76342 ÷ 217
    76342 ÷ 131072     		x = 0.582443237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73276 ÷ 217
    73276 ÷ 131072     		y = 0.559051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582443237304688 × 2 - 1) × π
    0.164886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51800614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.11810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.371031603059235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51800614} λ = 0.51800614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371031603059235))-π/2
    2×atan(0.690022134403818)-π/2
    2×0.603997973290462-π/2
    1.20799594658092-1.57079632675     		φ = -0.36280038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51800614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.679566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36280038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.786931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76342 KachelY 73276 0.51800614 -0.36280038 29.679566 -20.786931
    Oben rechts KachelX + 1 76343 KachelY 73276 0.51805407 -0.36280038 29.682312 -20.786931
    Unten links KachelX 76342 KachelY + 1 73277 0.51800614 -0.36284520 29.679566 -20.789499
    Unten rechts KachelX + 1 76343 KachelY + 1 73277 0.51805407 -0.36284520 29.682312 -20.789499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36280038--0.36284520) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36280038--0.36284520) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51800614-0.51805407) × cos(-0.36280038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934906653540922 × 6371000     		do = 285.484993585937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51800614-0.51805407) × cos(-0.36284520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934890746265572 × 6371000     		du = 285.480136108045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36280038)-sin(-0.36284520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934906653540922-0.934890746265572)×R²
    abs(0.51805407-0.51800614)×1.59072753501688e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59072753501688e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59072753501688e-05×40589641000000     		ar = 81519.0382466865m²