Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76335 / 73205
↖ ↑ ↗
← S 20.604507°
E 29.660339°		 ← 285.89 m → S 20.604507°
E 29.663086°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
S 20.607078°
E 29.660339°		 ← 285.88 m →
81 725 m²		 S 20.607078°
E 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582393646240234 y=0.558513641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582393646240234 × 217)
    floor (0.582393646240234 × 131072)
    floor (76335.5)     		tx = 76335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558513641357422 × 217)
    floor (0.558513641357422 × 131072)
    floor (73205.5)     		ty = 73205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76335 / 73205 ti = "17/76335/73205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76335/73205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76335 ÷ 217
    76335 ÷ 131072     		x = 0.582389831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73205 ÷ 217
    73205 ÷ 131072     		y = 0.558509826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582389831542969 × 2 - 1) × π
    0.164779663085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51767058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558509826660156 × 2 - 1) × π
    -0.117019653320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.367628083186211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51767058} λ = 0.51767058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.367628083186211))-π/2
    2×atan(0.692374639579204)-π/2
    2×0.605589918542584-π/2
    1.21117983708517-1.57079632675     		φ = -0.35961649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51767058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.660339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35961649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.604507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76335 KachelY 73205 0.51767058 -0.35961649 29.660339 -20.604507
    Oben rechts KachelX + 1 76336 KachelY 73205 0.51771852 -0.35961649 29.663086 -20.604507
    Unten links KachelX 76335 KachelY + 1 73206 0.51767058 -0.35966136 29.660339 -20.607078
    Unten rechts KachelX + 1 76336 KachelY + 1 73206 0.51771852 -0.35966136 29.663086 -20.607078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35961649--0.35966136) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dl = 285.866769999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35961649--0.35966136) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dr = 285.866769999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51767058-0.51771852) × cos(-0.35961649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936031855540012 × 6371000     		do = 285.888222141694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51767058-0.51771852) × cos(-0.35966136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936016064159068 × 6371000     		du = 285.883399047483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35961649)-sin(-0.35966136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936031855540012-0.936016064159068)×R²
    abs(0.51771852-0.51767058)×1.57913809438748e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57913809438748e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57913809438748e-05×40589641000000     		ar = 81725.2532771868m²