Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76334 / 73209
↖ ↑ ↗
← S 20.614791°
E 29.657593°		 ← 285.87 m → S 20.614791°
E 29.660339°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.617361°
E 29.657593°		 ← 285.86 m →
81 702 m²		 S 20.617361°
E 29.660339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582386016845703 y=0.558544158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582386016845703 × 217)
    floor (0.582386016845703 × 131072)
    floor (76334.5)     		tx = 76334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558544158935547 × 217)
    floor (0.558544158935547 × 131072)
    floor (73209.5)     		ty = 73209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76334 / 73209 ti = "17/76334/73209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76334/73209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76334 ÷ 217
    76334 ÷ 131072     		x = 0.582382202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73209 ÷ 217
    73209 ÷ 131072     		y = 0.558540344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582382202148438 × 2 - 1) × π
    0.164764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51762264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558540344238281 × 2 - 1) × π
    -0.117080688476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.367819830784691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51762264} λ = 0.51762264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.367819830784691))-π/2
    2×atan(0.692241891132321)-π/2
    2×0.605500180640598-π/2
    1.2110003612812-1.57079632675     		φ = -0.35979597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51762264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.657593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35979597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.614791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76334 KachelY 73209 0.51762264 -0.35979597 29.657593 -20.614791
    Oben rechts KachelX + 1 76335 KachelY 73209 0.51767058 -0.35979597 29.660339 -20.614791
    Unten links KachelX 76334 KachelY + 1 73210 0.51762264 -0.35984083 29.657593 -20.617361
    Unten rechts KachelX + 1 76335 KachelY + 1 73210 0.51767058 -0.35984083 29.660339 -20.617361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35979597--0.35984083) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dl = 285.803059999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35979597--0.35984083) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dr = 285.803059999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51762264-0.51767058) × cos(-0.35979597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935968678709382 × 6371000     		do = 285.868926311448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51762264-0.51767058) × cos(-0.35984083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935952883311894 × 6371000     		du = 285.864101990481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35979597)-sin(-0.35984083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935968678709382-0.935952883311894)×R²
    abs(0.51767058-0.51762264)×1.57953974883052e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57953974883052e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57953974883052e-05×40589641000000     		ar = 81701.5245094944m²