Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76329 / 73211
↖ ↑ ↗
← S 20.619932°
E 29.643860°		 ← 285.80 m → S 20.619932°
E 29.646606°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.622502°
E 29.643860°		 ← 285.79 m →
81 682 m²		 S 20.622502°
E 29.646606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582347869873047 y=0.558559417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582347869873047 × 217)
    floor (0.582347869873047 × 131072)
    floor (76329.5)     		tx = 76329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558559417724609 × 217)
    floor (0.558559417724609 × 131072)
    floor (73211.5)     		ty = 73211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76329 / 73211 ti = "17/76329/73211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76329/73211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76329 ÷ 217
    76329 ÷ 131072     		x = 0.582344055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73211 ÷ 217
    73211 ÷ 131072     		y = 0.558555603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582344055175781 × 2 - 1) × π
    0.164688110351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51738296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558555603027344 × 2 - 1) × π
    -0.117111206054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.367915704583931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51738296} λ = 0.51738296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.367915704583931))-π/2
    2×atan(0.692175526453593)-π/2
    2×0.605455313961238-π/2
    1.21091062792248-1.57079632675     		φ = -0.35988570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51738296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.643860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35988570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.619932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76329 KachelY 73211 0.51738296 -0.35988570 29.643860 -20.619932
    Oben rechts KachelX + 1 76330 KachelY 73211 0.51743089 -0.35988570 29.646606 -20.619932
    Unten links KachelX 76329 KachelY + 1 73212 0.51738296 -0.35993056 29.643860 -20.622502
    Unten rechts KachelX + 1 76330 KachelY + 1 73212 0.51743089 -0.35993056 29.646606 -20.622502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35988570--0.35993056) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dl = 285.803060000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35988570--0.35993056) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dr = 285.803060000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51738296-0.51743089) × cos(-0.35988570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935937082509203 × 6371000     		do = 285.799647467463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51738296-0.51743089) × cos(-0.35993056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935921283344267 × 6371000     		du = 285.794823002386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35988570)-sin(-0.35993056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935937082509203-0.935921283344267)×R²
    abs(0.51743089-0.51738296)×1.57991649361033e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57991649361033e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57991649361033e-05×40589641000000     		ar = 81681.7243833514m²