Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76328 / 73200
↖ ↑ ↗
← S 20.591652°
E 29.641113°		 ← 285.91 m → S 20.591652°
E 29.643860°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
S 20.594223°
E 29.641113°		 ← 285.91 m →
81 732 m²		 S 20.594223°
E 29.643860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582340240478516 y=0.558475494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582340240478516 × 217)
    floor (0.582340240478516 × 131072)
    floor (76328.5)     		tx = 76328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558475494384766 × 217)
    floor (0.558475494384766 × 131072)
    floor (73200.5)     		ty = 73200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76328 / 73200 ti = "17/76328/73200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76328/73200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76328 ÷ 217
    76328 ÷ 131072     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73200 ÷ 217
    73200 ÷ 131072     		y = 0.5584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5584716796875 × 2 - 1) × π
    -0.116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.36738839868811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.36738839868811))-π/2
    2×atan(0.692540610936776)-π/2
    2×0.605702099435492-π/2
    1.21140419887098-1.57079632675     		φ = -0.35939213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35939213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.591652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76328 KachelY 73200 0.51733502 -0.35939213 29.641113 -20.591652
    Oben rechts KachelX + 1 76329 KachelY 73200 0.51738296 -0.35939213 29.643860 -20.591652
    Unten links KachelX 76328 KachelY + 1 73201 0.51733502 -0.35943700 29.641113 -20.594223
    Unten rechts KachelX + 1 76329 KachelY + 1 73201 0.51738296 -0.35943700 29.643860 -20.594223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35939213--0.35943700) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dl = 285.866770000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35939213--0.35943700) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dr = 285.866770000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51738296) × cos(-0.35939213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936110787693217 × 6371000     		do = 285.912330052996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51738296) × cos(-0.35943700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936095005735655 × 6371000     		du = 285.907509836929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35939213)-sin(-0.35943700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936110787693217-0.936095005735655)×R²
    abs(0.51738296-0.51733502)×1.57819575622442e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57819575622442e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57819575622442e-05×40589641000000     		ar = 81732.1453393762m²