Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76327 / 73239
↖ ↑ ↗
← S 20.691892°
E 29.638366°		 ← 285.72 m → S 20.691892°
E 29.641113°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
S 20.694461°
E 29.638366°		 ← 285.72 m →
81 624 m²		 S 20.694461°
E 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582332611083984 y=0.558773040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582332611083984 × 217)
    floor (0.582332611083984 × 131072)
    floor (76327.5)     		tx = 76327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558773040771484 × 217)
    floor (0.558773040771484 × 131072)
    floor (73239.5)     		ty = 73239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76327 / 73239 ti = "17/76327/73239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76327/73239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76327 ÷ 217
    76327 ÷ 131072     		x = 0.582328796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73239 ÷ 217
    73239 ÷ 131072     		y = 0.558769226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582328796386719 × 2 - 1) × π
    0.164657592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51728708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558769226074219 × 2 - 1) × π
    -0.117538452148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.369257937773293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51728708} λ = 0.51728708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369257937773293))-π/2
    2×atan(0.691247088718483)-π/2
    2×0.60482733964894-π/2
    1.20965467929788-1.57079632675     		φ = -0.36114165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51728708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.638366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36114165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.691892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76327 KachelY 73239 0.51728708 -0.36114165 29.638366 -20.691892
    Oben rechts KachelX + 1 76328 KachelY 73239 0.51733502 -0.36114165 29.641113 -20.691892
    Unten links KachelX 76327 KachelY + 1 73240 0.51728708 -0.36118649 29.638366 -20.694461
    Unten rechts KachelX + 1 76328 KachelY + 1 73240 0.51733502 -0.36118649 29.641113 -20.694461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36114165--0.36118649) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dl = 285.675640000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36114165--0.36118649) × R
    4.4840000000046e-05 × 6371000     		dr = 285.675640000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51728708-0.51733502) × cos(-0.36114165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935494039979494 × 6371000     		do = 285.723959426139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51728708-0.51733502) × cos(-0.36118649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935478195162677 × 6371000     		du = 285.719120011238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36114165)-sin(-0.36118649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935494039979494-0.935478195162677)×R²
    abs(0.51733502-0.51728708)×1.58448168172676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58448168172676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58448168172676e-05×40589641000000     		ar = 81623.683734738m²