Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76312 / 73226
↖ ↑ ↗
← S 20.658486°
E 29.597168°		 ← 285.79 m → S 20.658486°
E 29.599915°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.661056°
E 29.597168°		 ← 285.78 m →
81 678 m²		 S 20.661056°
E 29.599915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582218170166016 y=0.558673858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582218170166016 × 217)
    floor (0.582218170166016 × 131072)
    floor (76312.5)     		tx = 76312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558673858642578 × 217)
    floor (0.558673858642578 × 131072)
    floor (73226.5)     		ty = 73226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76312 / 73226 ti = "17/76312/73226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76312/73226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76312 ÷ 217
    76312 ÷ 131072     		x = 0.58221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73226 ÷ 217
    73226 ÷ 131072     		y = 0.558670043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58221435546875 × 2 - 1) × π
    0.1644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51656803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558670043945312 × 2 - 1) × π
    -0.117340087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.368634758078232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51656803} λ = 0.51656803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368634758078232))-π/2
    2×atan(0.691677994120245)-π/2
    2×0.605118862172831-π/2
    1.21023772434566-1.57079632675     		φ = -0.36055860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51656803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.597168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36055860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.658486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76312 KachelY 73226 0.51656803 -0.36055860 29.597168 -20.658486
    Oben rechts KachelX + 1 76313 KachelY 73226 0.51661597 -0.36055860 29.599915 -20.658486
    Unten links KachelX 76312 KachelY + 1 73227 0.51656803 -0.36060346 29.597168 -20.661056
    Unten rechts KachelX + 1 76313 KachelY + 1 73227 0.51661597 -0.36060346 29.599915 -20.661056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36055860--0.36060346) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dl = 285.803059999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36055860--0.36060346) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dr = 285.803059999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51656803-0.51661597) × cos(-0.36055860) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935699897285669 × 6371000     		do = 285.786833546874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51656803-0.51661597) × cos(-0.36060346) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935684069872078 × 6371000     		du = 285.781999447366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36055860)-sin(-0.36060346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935699897285669-0.935684069872078)×R²
    abs(0.51661597-0.51656803)×1.582741359063e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.582741359063e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.582741359063e-05×40589641000000     		ar = 81678.0607488141m²