Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76311 / 73229
↖ ↑ ↗
← S 20.666196°
E 29.594421°		 ← 285.77 m → S 20.666196°
E 29.597168°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
S 20.668765°
E 29.594421°		 ← 285.77 m →
81 656 m²		 S 20.668765°
E 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582210540771484 y=0.558696746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582210540771484 × 217)
    floor (0.582210540771484 × 131072)
    floor (76311.5)     		tx = 76311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558696746826172 × 217)
    floor (0.558696746826172 × 131072)
    floor (73229.5)     		ty = 73229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76311 / 73229 ti = "17/76311/73229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76311/73229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76311 ÷ 217
    76311 ÷ 131072     		x = 0.582206726074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73229 ÷ 217
    73229 ÷ 131072     		y = 0.558692932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582206726074219 × 2 - 1) × π
    0.164413452148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51652009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558692932128906 × 2 - 1) × π
    -0.117385864257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.368778568777092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51652009} λ = 0.51652009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368778568777092))-π/2
    2×atan(0.691578530576657)-π/2
    2×0.605051582051796-π/2
    1.21010316410359-1.57079632675     		φ = -0.36069316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51652009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.594421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36069316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.666196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76311 KachelY 73229 0.51652009 -0.36069316 29.594421 -20.666196
    Oben rechts KachelX + 1 76312 KachelY 73229 0.51656803 -0.36069316 29.597168 -20.666196
    Unten links KachelX 76311 KachelY + 1 73230 0.51652009 -0.36073801 29.594421 -20.668765
    Unten rechts KachelX + 1 76312 KachelY + 1 73230 0.51656803 -0.36073801 29.597168 -20.668765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36069316--0.36073801) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dl = 285.739349999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36069316--0.36073801) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dr = 285.739349999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51652009-0.51656803) × cos(-0.36069316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93565241645442 × 6371000     		do = 285.772331678192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51652009-0.51656803) × cos(-0.36073801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935636586922446 × 6371000     		du = 285.767496931675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36069316)-sin(-0.36073801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93565241645442-0.935636586922446)×R²
    abs(0.51656803-0.51652009)×1.58295319739876e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58295319739876e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58295319739876e-05×40589641000000     		ar = 81655.7095767162m²