Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76310 / 73228
↖ ↑ ↗
← S 20.663626°
E 29.591675°		 ← 285.72 m → S 20.663626°
E 29.594421°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
S 20.666196°
E 29.591675°		 ← 285.71 m →
81 640 m²		 S 20.666196°
E 29.594421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582202911376953 y=0.558689117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582202911376953 × 217)
    floor (0.582202911376953 × 131072)
    floor (76310.5)     		tx = 76310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558689117431641 × 217)
    floor (0.558689117431641 × 131072)
    floor (73228.5)     		ty = 73228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76310 / 73228 ti = "17/76310/73228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76310/73228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76310 ÷ 217
    76310 ÷ 131072     		x = 0.582199096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73228 ÷ 217
    73228 ÷ 131072     		y = 0.558685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582199096679688 × 2 - 1) × π
    0.164398193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51647216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558685302734375 × 2 - 1) × π
    -0.11737060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368730631877472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51647216} λ = 0.51647216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368730631877472))-π/2
    2×atan(0.691611683501875)-π/2
    2×0.605074008379454-π/2
    1.21014801675891-1.57079632675     		φ = -0.36064831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51647216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.591675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36064831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.663626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76310 KachelY 73228 0.51647216 -0.36064831 29.591675 -20.663626
    Oben rechts KachelX + 1 76311 KachelY 73228 0.51652009 -0.36064831 29.594421 -20.663626
    Unten links KachelX 76310 KachelY + 1 73229 0.51647216 -0.36069316 29.591675 -20.666196
    Unten rechts KachelX + 1 76311 KachelY + 1 73229 0.51652009 -0.36069316 29.594421 -20.666196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36064831--0.36069316) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dl = 285.739349999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36064831--0.36069316) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dr = 285.739349999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51647216-0.51652009) × cos(-0.36064831) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935668244104308 × 6371000     		do = 285.717554426402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51647216-0.51652009) × cos(-0.36069316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93565241645442 × 6371000     		du = 285.712721263102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36064831)-sin(-0.36069316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935668244104308-0.93565241645442)×R²
    abs(0.51652009-0.51647216)×1.58276498881671e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58276498881671e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58276498881671e-05×40589641000000     		ar = 81640.0577865709m²