Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76308 / 73224
↖ ↑ ↗
← S 20.653346°
E 29.586181°		 ← 285.80 m → S 20.653346°
E 29.588928°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.655916°
E 29.586181°		 ← 285.79 m →
81 681 m²		 S 20.655916°
E 29.588928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582187652587891 y=0.558658599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582187652587891 × 217)
    floor (0.582187652587891 × 131072)
    floor (76308.5)     		tx = 76308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558658599853516 × 217)
    floor (0.558658599853516 × 131072)
    floor (73224.5)     		ty = 73224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76308 / 73224 ti = "17/76308/73224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76308/73224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76308 ÷ 217
    76308 ÷ 131072     		x = 0.582183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73224 ÷ 217
    73224 ÷ 131072     		y = 0.55865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582183837890625 × 2 - 1) × π
    0.16436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51637628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55865478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1173095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.368538884278992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51637628} λ = 0.51637628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368538884278992))-π/2
    2×atan(0.691744311096372)-π/2
    2×0.605163717483369-π/2
    1.21032743496674-1.57079632675     		φ = -0.36046889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51637628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.586181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36046889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.653346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76308 KachelY 73224 0.51637628 -0.36046889 29.586181 -20.653346
    Oben rechts KachelX + 1 76309 KachelY 73224 0.51642422 -0.36046889 29.588928 -20.653346
    Unten links KachelX 76308 KachelY + 1 73225 0.51637628 -0.36051375 29.586181 -20.655916
    Unten rechts KachelX + 1 76309 KachelY + 1 73225 0.51642422 -0.36051375 29.588928 -20.655916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36046889--0.36051375) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dl = 285.803060000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36046889--0.36051375) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dr = 285.803060000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51637628-0.51642422) × cos(-0.36046889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935731542936626 × 6371000     		do = 285.796498942573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51637628-0.51642422) × cos(-0.36051375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935715719288689 × 6371000     		du = 285.791665993193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36046889)-sin(-0.36051375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935731542936626-0.935715719288689)×R²
    abs(0.51642422-0.51637628)×1.58236479369522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58236479369522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58236479369522e-05×40589641000000     		ar = 81680.8233130236m²