Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76307 / 73225
↖ ↑ ↗
← S 20.655916°
E 29.583435°		 ← 285.73 m → S 20.655916°
E 29.586181°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
S 20.658486°
E 29.583435°		 ← 285.73 m →
81 644 m²		 S 20.658486°
E 29.586181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582180023193359 y=0.558666229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582180023193359 × 217)
    floor (0.582180023193359 × 131072)
    floor (76307.5)     		tx = 76307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558666229248047 × 217)
    floor (0.558666229248047 × 131072)
    floor (73225.5)     		ty = 73225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76307 / 73225 ti = "17/76307/73225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76307/73225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76307 ÷ 217
    76307 ÷ 131072     		x = 0.582176208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73225 ÷ 217
    73225 ÷ 131072     		y = 0.558662414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582176208496094 × 2 - 1) × π
    0.164352416992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51632835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558662414550781 × 2 - 1) × π
    -0.117324829101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.368586821178612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51632835} λ = 0.51632835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368586821178612))-π/2
    2×atan(0.691711151813551)-π/2
    2×0.605141289638474-π/2
    1.21028257927695-1.57079632675     		φ = -0.36051375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51632835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.583435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36051375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.655916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76307 KachelY 73225 0.51632835 -0.36051375 29.583435 -20.655916
    Oben rechts KachelX + 1 76308 KachelY 73225 0.51637628 -0.36051375 29.586181 -20.655916
    Unten links KachelX 76307 KachelY + 1 73226 0.51632835 -0.36055860 29.583435 -20.658486
    Unten rechts KachelX + 1 76308 KachelY + 1 73226 0.51637628 -0.36055860 29.586181 -20.658486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36051375--0.36055860) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dl = 285.739349999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36051375--0.36055860) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dr = 285.739349999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51632835-0.51637628) × cos(-0.36051375) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935715719288689 × 6371000     		do = 285.732051545079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51632835-0.51637628) × cos(-0.36055860) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935699897285669 × 6371000     		du = 285.727220106118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36051375)-sin(-0.36055860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935715719288689-0.935699897285669)×R²
    abs(0.51637628-0.51632835)×1.58220030198608e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58220030198608e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58220030198608e-05×40589641000000     		ar = 81644.2004302234m²