Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76306 / 73290
↖ ↑ ↗
← S 20.822876°
E 29.580689°		 ← 285.48 m → S 20.822876°
E 29.583435°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
S 20.825443°
E 29.580689°		 ← 285.47 m →
81 480 m²		 S 20.825443°
E 29.583435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582172393798828 y=0.559162139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582172393798828 × 217)
    floor (0.582172393798828 × 131072)
    floor (76306.5)     		tx = 76306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559162139892578 × 217)
    floor (0.559162139892578 × 131072)
    floor (73290.5)     		ty = 73290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76306 / 73290 ti = "17/76306/73290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76306/73290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76306 ÷ 217
    76306 ÷ 131072     		x = 0.582168579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73290 ÷ 217
    73290 ÷ 131072     		y = 0.559158325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582168579101562 × 2 - 1) × π
    0.164337158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51628041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559158325195312 × 2 - 1) × π
    -0.118316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.371702719653915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51628041} λ = 0.51628041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371702719653915))-π/2
    2×atan(0.689559204456082)-π/2
    2×0.603684294982891-π/2
    1.20736858996578-1.57079632675     		φ = -0.36342774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51628041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.580689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36342774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.822876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76306 KachelY 73290 0.51628041 -0.36342774 29.580689 -20.822876
    Oben rechts KachelX + 1 76307 KachelY 73290 0.51632835 -0.36342774 29.583435 -20.822876
    Unten links KachelX 76306 KachelY + 1 73291 0.51628041 -0.36347254 29.580689 -20.825443
    Unten rechts KachelX + 1 76307 KachelY + 1 73291 0.51632835 -0.36347254 29.583435 -20.825443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36342774--0.36347254) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36342774--0.36347254) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51628041-0.51632835) × cos(-0.36342774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934683823453751 × 6371000     		do = 285.476498444204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51628041-0.51632835) × cos(-0.36347254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934667897004235 × 6371000     		du = 285.471634096575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36342774)-sin(-0.36347254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934683823453751-0.934667897004235)×R²
    abs(0.51632835-0.51628041)×1.59264495158684e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59264495158684e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59264495158684e-05×40589641000000     		ar = 81480.2363878186m²