Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76305 / 73289
↖ ↑ ↗
← S 20.820308°
E 29.577942°		 ← 285.48 m → S 20.820308°
E 29.580689°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
S 20.822876°
E 29.577942°		 ← 285.48 m →
81 500 m²		 S 20.822876°
E 29.580689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582164764404297 y=0.559154510498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582164764404297 × 217)
    floor (0.582164764404297 × 131072)
    floor (76305.5)     		tx = 76305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559154510498047 × 217)
    floor (0.559154510498047 × 131072)
    floor (73289.5)     		ty = 73289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76305 / 73289 ti = "17/76305/73289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76305/73289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76305 ÷ 217
    76305 ÷ 131072     		x = 0.582160949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73289 ÷ 217
    73289 ÷ 131072     		y = 0.559150695800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582160949707031 × 2 - 1) × π
    0.164321899414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51623247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559150695800781 × 2 - 1) × π
    -0.118301391601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.371654782754295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51623247} λ = 0.51623247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371654782754295))-π/2
    2×atan(0.689592260578746)-π/2
    2×0.603706698096102-π/2
    1.2074133961922-1.57079632675     		φ = -0.36338293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51623247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.577942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36338293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.820308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76305 KachelY 73289 0.51623247 -0.36338293 29.577942 -20.820308
    Oben rechts KachelX + 1 76306 KachelY 73289 0.51628041 -0.36338293 29.580689 -20.820308
    Unten links KachelX 76305 KachelY + 1 73290 0.51623247 -0.36342774 29.577942 -20.822876
    Unten rechts KachelX + 1 76306 KachelY + 1 73290 0.51628041 -0.36342774 29.580689 -20.822876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36338293--0.36342774) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36338293--0.36342774) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51623247-0.51628041) × cos(-0.36338293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934699751581702 × 6371000     		do = 285.48136330447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51623247-0.51628041) × cos(-0.36342774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934683823453751 × 6371000     		du = 285.476498444204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36338293)-sin(-0.36342774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934699751581702-0.934683823453751)×R²
    abs(0.51628041-0.51623247)×1.5928127951037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5928127951037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5928127951037e-05×40589641000000     		ar = 81499.8127095446m²