Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76305 / 73287
↖ ↑ ↗
← S 20.815174°
E 29.577942°		 ← 285.49 m → S 20.815174°
E 29.580689°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
S 20.817741°
E 29.577942°		 ← 285.49 m →
81 484 m²		 S 20.817741°
E 29.580689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582164764404297 y=0.559139251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582164764404297 × 217)
    floor (0.582164764404297 × 131072)
    floor (76305.5)     		tx = 76305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559139251708984 × 217)
    floor (0.559139251708984 × 131072)
    floor (73287.5)     		ty = 73287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76305 / 73287 ti = "17/76305/73287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76305/73287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76305 ÷ 217
    76305 ÷ 131072     		x = 0.582160949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73287 ÷ 217
    73287 ÷ 131072     		y = 0.559135437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582160949707031 × 2 - 1) × π
    0.164321899414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51623247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559135437011719 × 2 - 1) × π
    -0.118270874023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.371558908955055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51623247} λ = 0.51623247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371558908955055))-π/2
    2×atan(0.689658377578088)-π/2
    2×0.603751505467649-π/2
    1.2075030109353-1.57079632675     		φ = -0.36329332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51623247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.577942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36329332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.815174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76305 KachelY 73287 0.51623247 -0.36329332 29.577942 -20.815174
    Oben rechts KachelX + 1 76306 KachelY 73287 0.51628041 -0.36329332 29.580689 -20.815174
    Unten links KachelX 76305 KachelY + 1 73288 0.51623247 -0.36333812 29.577942 -20.817741
    Unten rechts KachelX + 1 76306 KachelY + 1 73288 0.51628041 -0.36333812 29.580689 -20.817741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36329332--0.36333812) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36329332--0.36333812) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51623247-0.51628041) × cos(-0.36329332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934731598653574 × 6371000     		do = 285.491090219964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51623247-0.51628041) × cos(-0.36333812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934715677832835 × 6371000     		du = 285.486227591508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36329332)-sin(-0.36333812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934731598653574-0.934715677832835)×R²
    abs(0.51628041-0.51623247)×1.59208207390904e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59208207390904e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59208207390904e-05×40589641000000     		ar = 81484.4014294709m²