Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76293 / 73279
↖ ↑ ↗
← S 20.794634°
E 29.544983°		 ← 285.53 m → S 20.794634°
E 29.547730°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
S 20.797201°
E 29.544983°		 ← 285.53 m →
81 514 m²		 S 20.797201°
E 29.547730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582073211669922 y=0.559078216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582073211669922 × 217)
    floor (0.582073211669922 × 131072)
    floor (76293.5)     		tx = 76293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559078216552734 × 217)
    floor (0.559078216552734 × 131072)
    floor (73279.5)     		ty = 73279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76293 / 73279 ti = "17/76293/73279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76293/73279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76293 ÷ 217
    76293 ÷ 131072     		x = 0.582069396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73279 ÷ 217
    73279 ÷ 131072     		y = 0.559074401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582069396972656 × 2 - 1) × π
    0.164138793945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51565723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559074401855469 × 2 - 1) × π
    -0.118148803710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.371175413758095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51565723} λ = 0.51565723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371175413758095))-π/2
    2×atan(0.68992290897345)-π/2
    2×0.603930750216526-π/2
    1.20786150043305-1.57079632675     		φ = -0.36293483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51565723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.544983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36293483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.794634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76293 KachelY 73279 0.51565723 -0.36293483 29.544983 -20.794634
    Oben rechts KachelX + 1 76294 KachelY 73279 0.51570517 -0.36293483 29.547730 -20.794634
    Unten links KachelX 76293 KachelY + 1 73280 0.51565723 -0.36297964 29.544983 -20.797201
    Unten rechts KachelX + 1 76294 KachelY + 1 73280 0.51570517 -0.36297964 29.547730 -20.797201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36293483--0.36297964) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36293483--0.36297964) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51565723-0.51570517) × cos(-0.36293483) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.934858929630981 × 6371000     		do = 285.529980378624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51565723-0.51570517) × cos(-0.36297964) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.934843020272642 × 6371000     		du = 285.525121251081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36293483)-sin(-0.36297964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934858929630981-0.934843020272642)×R²
    abs(0.51570517-0.51565723)×1.59093583387282e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.59093583387282e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.59093583387282e-05×40589641000000     		ar = 81513.6929494526m²