Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76283 / 73303
↖ ↑ ↗
← S 20.856245°
E 29.517517°		 ← 285.41 m → S 20.856245°
E 29.520264°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
S 20.858812°
E 29.517517°		 ← 285.41 m →
81 444 m²		 S 20.858812°
E 29.520264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581996917724609 y=0.559261322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581996917724609 × 217)
    floor (0.581996917724609 × 131072)
    floor (76283.5)     		tx = 76283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559261322021484 × 217)
    floor (0.559261322021484 × 131072)
    floor (73303.5)     		ty = 73303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76283 / 73303 ti = "17/76283/73303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76283/73303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76283 ÷ 217
    76283 ÷ 131072     		x = 0.581993103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73303 ÷ 217
    73303 ÷ 131072     		y = 0.559257507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581993103027344 × 2 - 1) × π
    0.163986206054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51517786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559257507324219 × 2 - 1) × π
    -0.118515014648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.372325899348976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51517786} λ = 0.51517786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372325899348976))-π/2
    2×atan(0.689129619029683)-π/2
    2×0.60339308926527-π/2
    1.20678617853054-1.57079632675     		φ = -0.36401015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51517786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.517517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36401015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.856245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76283 KachelY 73303 0.51517786 -0.36401015 29.517517 -20.856245
    Oben rechts KachelX + 1 76284 KachelY 73303 0.51522580 -0.36401015 29.520264 -20.856245
    Unten links KachelX 76283 KachelY + 1 73304 0.51517786 -0.36405494 29.517517 -20.858812
    Unten rechts KachelX + 1 76284 KachelY + 1 73304 0.51522580 -0.36405494 29.520264 -20.858812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36401015--0.36405494) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36401015--0.36405494) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51517786-0.51522580) × cos(-0.36401015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934476629737508 × 6371000     		do = 285.413216150097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51517786-0.51522580) × cos(-0.36405494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934460682463825 × 6371000     		du = 285.408345442232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36401015)-sin(-0.36405494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934476629737508-0.934460682463825)×R²
    abs(0.51522580-0.51517786)×1.59472736827038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59472736827038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59472736827038e-05×40589641000000     		ar = 81443.9898762308m²