Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76279 / 73305
↖ ↑ ↗
← S 20.861378°
E 29.506531°		 ← 285.40 m → S 20.861378°
E 29.509277°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
S 20.863945°
E 29.506531°		 ← 285.40 m →
81 441 m²		 S 20.863945°
E 29.509277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581966400146484 y=0.559276580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581966400146484 × 217)
    floor (0.581966400146484 × 131072)
    floor (76279.5)     		tx = 76279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559276580810547 × 217)
    floor (0.559276580810547 × 131072)
    floor (73305.5)     		ty = 73305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76279 / 73305 ti = "17/76279/73305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76279/73305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76279 ÷ 217
    76279 ÷ 131072     		x = 0.581962585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73305 ÷ 217
    73305 ÷ 131072     		y = 0.559272766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581962585449219 × 2 - 1) × π
    0.163925170898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51498611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559272766113281 × 2 - 1) × π
    -0.118545532226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.372421773148216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51498611} λ = 0.51498611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372421773148216))-π/2
    2×atan(0.689063552722003)-π/2
    2×0.603348294117414-π/2
    1.20669658823483-1.57079632675     		φ = -0.36409974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51498611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.506531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36409974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.861378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76279 KachelY 73305 0.51498611 -0.36409974 29.506531 -20.861378
    Oben rechts KachelX + 1 76280 KachelY 73305 0.51503405 -0.36409974 29.509277 -20.861378
    Unten links KachelX 76279 KachelY + 1 73306 0.51498611 -0.36414453 29.506531 -20.863945
    Unten rechts KachelX + 1 76280 KachelY + 1 73306 0.51503405 -0.36414453 29.509277 -20.863945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36409974--0.36414453) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36409974--0.36414453) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51498611-0.51503405) × cos(-0.36409974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934444729754398 × 6371000     		do = 285.40347307415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51498611-0.51503405) × cos(-0.36414453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934428778731003 × 6371000     		du = 285.398601221026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36409974)-sin(-0.36414453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934444729754398-0.934428778731003)×R²
    abs(0.51503405-0.51498611)×1.59510233949112e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59510233949112e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59510233949112e-05×40589641000000     		ar = 81441.2094571061m²