Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76276 / 73308
↖ ↑ ↗
← S 20.869078°
E 29.498291°		 ← 285.39 m → S 20.869078°
E 29.501038°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
S 20.871644°
E 29.498291°		 ← 285.38 m →
81 437 m²		 S 20.871644°
E 29.501038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581943511962891 y=0.559299468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581943511962891 × 217)
    floor (0.581943511962891 × 131072)
    floor (76276.5)     		tx = 76276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559299468994141 × 217)
    floor (0.559299468994141 × 131072)
    floor (73308.5)     		ty = 73308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76276 / 73308 ti = "17/76276/73308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76276/73308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76276 ÷ 217
    76276 ÷ 131072     		x = 0.581939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73308 ÷ 217
    73308 ÷ 131072     		y = 0.559295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581939697265625 × 2 - 1) × π
    0.16387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51484230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559295654296875 × 2 - 1) × π
    -0.11859130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.372565583847076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51484230} λ = 0.51484230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372565583847076))-π/2
    2×atan(0.688964465136025)-π/2
    2×0.603281104263247-π/2
    1.20656220852649-1.57079632675     		φ = -0.36423412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51484230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.498291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36423412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.869078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76276 KachelY 73308 0.51484230 -0.36423412 29.498291 -20.869078
    Oben rechts KachelX + 1 76277 KachelY 73308 0.51489024 -0.36423412 29.501038 -20.869078
    Unten links KachelX 76276 KachelY + 1 73309 0.51484230 -0.36427891 29.498291 -20.871644
    Unten rechts KachelX + 1 76277 KachelY + 1 73309 0.51489024 -0.36427891 29.501038 -20.871644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36423412--0.36427891) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36423412--0.36427891) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51484230-0.51489024) × cos(-0.36423412) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.934396867498111 × 6371000     		do = 285.388854709766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51484230-0.51489024) × cos(-0.36427891) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.934380910850598 × 6371000     		du = 285.383981138892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36423412)-sin(-0.36427891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934396867498111-0.934380910850598)×R²
    abs(0.51489024-0.51484230)×1.59566475136375e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.59566475136375e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.59566475136375e-05×40589641000000     		ar = 81437.0377581018m²