Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76275 / 73310
↖ ↑ ↗
← S 20.874210°
E 29.495545°		 ← 285.32 m → S 20.874210°
E 29.498291°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
S 20.876777°
E 29.495545°		 ← 285.31 m →
81 417 m²		 S 20.876777°
E 29.498291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581935882568359 y=0.559314727783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581935882568359 × 217)
    floor (0.581935882568359 × 131072)
    floor (76275.5)     		tx = 76275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559314727783203 × 217)
    floor (0.559314727783203 × 131072)
    floor (73310.5)     		ty = 73310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76275 / 73310 ti = "17/76275/73310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76275/73310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76275 ÷ 217
    76275 ÷ 131072     		x = 0.581932067871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73310 ÷ 217
    73310 ÷ 131072     		y = 0.559310913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581932067871094 × 2 - 1) × π
    0.163864135742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51479437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559310913085938 × 2 - 1) × π
    -0.118621826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.372661457646317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51479437} λ = 0.51479437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372661457646317))-π/2
    2×atan(0.688898414661516)-π/2
    2×0.603236312939329-π/2
    1.20647262587866-1.57079632675     		φ = -0.36432370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51479437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.495545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36432370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.874210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76275 KachelY 73310 0.51479437 -0.36432370 29.495545 -20.874210
    Oben rechts KachelX + 1 76276 KachelY 73310 0.51484230 -0.36432370 29.498291 -20.874210
    Unten links KachelX 76275 KachelY + 1 73311 0.51479437 -0.36436849 29.495545 -20.876777
    Unten rechts KachelX + 1 76276 KachelY + 1 73311 0.51484230 -0.36436849 29.498291 -20.876777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36432370--0.36436849) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36432370--0.36436849) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51479437-0.51484230) × cos(-0.36432370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934364952328581 × 6371000     		do = 285.319578604083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51479437-0.51484230) × cos(-0.36436849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934348991932094 × 6371000     		du = 285.314704905013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36432370)-sin(-0.36436849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934364952328581-0.934348991932094)×R²
    abs(0.51484230-0.51479437)×1.59603964871025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59603964871025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59603964871025e-05×40589641000000     		ar = 81417.2693118649m²