Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76269 / 73294
↖ ↑ ↗
← S 20.833144°
E 29.479065°		 ← 285.46 m → S 20.833144°
E 29.481811°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
S 20.835711°
E 29.479065°		 ← 285.45 m →
81 493 m²		 S 20.835711°
E 29.481811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581890106201172 y=0.559192657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581890106201172 × 217)
    floor (0.581890106201172 × 131072)
    floor (76269.5)     		tx = 76269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559192657470703 × 217)
    floor (0.559192657470703 × 131072)
    floor (73294.5)     		ty = 73294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76269 / 73294 ti = "17/76269/73294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76269/73294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76269 ÷ 217
    76269 ÷ 131072     		x = 0.581886291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73294 ÷ 217
    73294 ÷ 131072     		y = 0.559188842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581886291503906 × 2 - 1) × π
    0.163772583007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51450674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559188842773438 × 2 - 1) × π
    -0.118377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.371894467252396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51450674} λ = 0.51450674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371894467252396))-π/2
    2×atan(0.689426995810368)-π/2
    2×0.603594686348027-π/2
    1.20718937269605-1.57079632675     		φ = -0.36360695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51450674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.479065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36360695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.833144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76269 KachelY 73294 0.51450674 -0.36360695 29.479065 -20.833144
    Oben rechts KachelX + 1 76270 KachelY 73294 0.51455468 -0.36360695 29.481811 -20.833144
    Unten links KachelX 76269 KachelY + 1 73295 0.51450674 -0.36365176 29.479065 -20.835711
    Unten rechts KachelX + 1 76270 KachelY + 1 73295 0.51455468 -0.36365176 29.481811 -20.835711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36360695--0.36365176) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36360695--0.36365176) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51450674-0.51455468) × cos(-0.36360695) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.934620102843843 × 6371000     		do = 285.457036530431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51450674-0.51455468) × cos(-0.36365176) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.934604165333541 × 6371000     		du = 285.452168804553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36360695)-sin(-0.36365176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934620102843843-0.934604165333541)×R²
    abs(0.51455468-0.51450674)×1.59375103016002e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.59375103016002e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.59375103016002e-05×40589641000000     		ar = 81492.867383438m²