Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76268 / 73316
↖ ↑ ↗
← S 20.889607°
E 29.476319°		 ← 285.29 m → S 20.889607°
E 29.479065°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
S 20.892174°
E 29.476319°		 ← 285.29 m →
81 409 m²		 S 20.892174°
E 29.479065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581882476806641 y=0.559360504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581882476806641 × 217)
    floor (0.581882476806641 × 131072)
    floor (76268.5)     		tx = 76268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559360504150391 × 217)
    floor (0.559360504150391 × 131072)
    floor (73316.5)     		ty = 73316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76268 / 73316 ti = "17/76268/73316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76268/73316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76268 ÷ 217
    76268 ÷ 131072     		x = 0.581878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73316 ÷ 217
    73316 ÷ 131072     		y = 0.559356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581878662109375 × 2 - 1) × π
    0.16375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51445881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.11871337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.372949079044037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51445881} λ = 0.51445881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372949079044037))-π/2
    2×atan(0.688700301228801)-π/2
    2×0.603101948149482-π/2
    1.20620389629896-1.57079632675     		φ = -0.36459243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51445881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.476319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36459243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.889607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76268 KachelY 73316 0.51445881 -0.36459243 29.476319 -20.889607
    Oben rechts KachelX + 1 76269 KachelY 73316 0.51450674 -0.36459243 29.479065 -20.889607
    Unten links KachelX 76268 KachelY + 1 73317 0.51445881 -0.36463722 29.476319 -20.892174
    Unten rechts KachelX + 1 76269 KachelY + 1 73317 0.51450674 -0.36463722 29.479065 -20.892174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36459243--0.36463722) × R
    4.47899999999612e-05 × 6371000     		dl = 285.357089999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36459243--0.36463722) × R
    4.47899999999612e-05 × 6371000     		dr = 285.357089999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51445881-0.51450674) × cos(-0.36459243) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.934269165399404 × 6371000     		do = 285.290328912281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51445881-0.51450674) × cos(-0.36463722) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.934253193757183 × 6371000     		du = 285.285451779191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36459243)-sin(-0.36463722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934269165399404-0.934253193757183)×R²
    abs(0.51450674-0.51445881)×1.5971642220558e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5971642220558e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5971642220558e-05×40589641000000     		ar = 81408.9222148395m²