Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76254 / 73182
↖ ↑ ↗
← S 20.545365°
E 29.437866°		 ← 286 m → S 20.545365°
E 29.440613°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
S 20.547937°
E 29.437866°		 ← 285.99 m →
81 793 m²		 S 20.547937°
E 29.440613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581775665283203 y=0.558338165283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581775665283203 × 217)
    floor (0.581775665283203 × 131072)
    floor (76254.5)     		tx = 76254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558338165283203 × 217)
    floor (0.558338165283203 × 131072)
    floor (73182.5)     		ty = 73182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76254 / 73182 ti = "17/76254/73182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76254/73182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76254 ÷ 217
    76254 ÷ 131072     		x = 0.581771850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73182 ÷ 217
    73182 ÷ 131072     		y = 0.558334350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581771850585938 × 2 - 1) × π
    0.163543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51378769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558334350585938 × 2 - 1) × π
    -0.116668701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.366525534494949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51378769} λ = 0.51378769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366525534494949))-π/2
    2×atan(0.693138437316659)-π/2
    2×0.60610602891957-π/2
    1.21221205783914-1.57079632675     		φ = -0.35858427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51378769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.437866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35858427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.545365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76254 KachelY 73182 0.51378769 -0.35858427 29.437866 -20.545365
    Oben rechts KachelX + 1 76255 KachelY 73182 0.51383563 -0.35858427 29.440613 -20.545365
    Unten links KachelX 76254 KachelY + 1 73183 0.51378769 -0.35862916 29.437866 -20.547937
    Unten rechts KachelX + 1 76255 KachelY + 1 73183 0.51383563 -0.35862916 29.440613 -20.547937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35858427--0.35862916) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dl = 285.994190000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35858427--0.35862916) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dr = 285.994190000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51378769-0.51383563) × cos(-0.35858427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936394610806775 × 6371000     		do = 285.999016937484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51378769-0.51383563) × cos(-0.35862916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936378855767033 × 6371000     		du = 285.994204942812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35858427)-sin(-0.35862916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936394610806775-0.936378855767033)×R²
    abs(0.51383563-0.51378769)×1.57550397419381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57550397419381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57550397419381e-05×40589641000000     		ar = 81793.3691023949m²