Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76249 / 73135
↖ ↑ ↗
← S 20.424439°
E 29.424134°		 ← 286.16 m → S 20.424439°
E 29.426880°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
S 20.427013°
E 29.424134°		 ← 286.16 m →
81 896 m²		 S 20.427013°
E 29.426880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581737518310547 y=0.557979583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581737518310547 × 217)
    floor (0.581737518310547 × 131072)
    floor (76249.5)     		tx = 76249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557979583740234 × 217)
    floor (0.557979583740234 × 131072)
    floor (73135.5)     		ty = 73135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76249 / 73135 ti = "17/76249/73135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76249/73135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76249 ÷ 217
    76249 ÷ 131072     		x = 0.581733703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73135 ÷ 217
    73135 ÷ 131072     		y = 0.557975769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581733703613281 × 2 - 1) × π
    0.163467407226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51354801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557975769042969 × 2 - 1) × π
    -0.115951538085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.364272500212807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51354801} λ = 0.51354801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.364272500212807))-π/2
    2×atan(0.69470186254217)-π/2
    2×0.607161309867168-π/2
    1.21432261973434-1.57079632675     		φ = -0.35647371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51354801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.424134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35647371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.424439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76249 KachelY 73135 0.51354801 -0.35647371 29.424134 -20.424439
    Oben rechts KachelX + 1 76250 KachelY 73135 0.51359594 -0.35647371 29.426880 -20.424439
    Unten links KachelX 76249 KachelY + 1 73136 0.51354801 -0.35651863 29.424134 -20.427013
    Unten rechts KachelX + 1 76250 KachelY + 1 73136 0.51359594 -0.35651863 29.426880 -20.427013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35647371--0.35651863) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35647371--0.35651863) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51354801-0.51359594) × cos(-0.35647371) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937133223407556 × 6371000     		do = 286.164903479687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51354801-0.51359594) × cos(-0.35651863) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.937117546648546 × 6371000     		du = 286.160116392732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35647371)-sin(-0.35651863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937133223407556-0.937117546648546)×R²
    abs(0.51359594-0.51354801)×1.56767590100415e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.56767590100415e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.56767590100415e-05×40589641000000     		ar = 81895.5094919231m²