Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76247 / 73169
↖ ↑ ↗
← S 20.511927°
E 29.418640°		 ← 286.06 m → S 20.511927°
E 29.421387°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
S 20.514499°
E 29.418640°		 ← 286.06 m →
81 829 m²		 S 20.514499°
E 29.421387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581722259521484 y=0.558238983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581722259521484 × 217)
    floor (0.581722259521484 × 131072)
    floor (76247.5)     		tx = 76247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558238983154297 × 217)
    floor (0.558238983154297 × 131072)
    floor (73169.5)     		ty = 73169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76247 / 73169 ti = "17/76247/73169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76247/73169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76247 ÷ 217
    76247 ÷ 131072     		x = 0.581718444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73169 ÷ 217
    73169 ÷ 131072     		y = 0.558235168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581718444824219 × 2 - 1) × π
    0.163436889648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51345213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558235168457031 × 2 - 1) × π
    -0.116470336914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.365902354799889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51345213} λ = 0.51345213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365902354799889))-π/2
    2×atan(0.693570521735796)-π/2
    2×0.606397831865238-π/2
    1.21279566373048-1.57079632675     		φ = -0.35800066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51345213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.418640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35800066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.511927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76247 KachelY 73169 0.51345213 -0.35800066 29.418640 -20.511927
    Oben rechts KachelX + 1 76248 KachelY 73169 0.51350007 -0.35800066 29.421387 -20.511927
    Unten links KachelX 76247 KachelY + 1 73170 0.51345213 -0.35804556 29.418640 -20.514499
    Unten rechts KachelX + 1 76248 KachelY + 1 73170 0.51350007 -0.35804556 29.421387 -20.514499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35800066--0.35804556) × R
    4.48999999999589e-05 × 6371000     		dl = 286.057899999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35800066--0.35804556) × R
    4.48999999999589e-05 × 6371000     		dr = 286.057899999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51345213-0.51350007) × cos(-0.35800066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936599268616413 × 6371000     		do = 286.061524700439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51345213-0.51350007) × cos(-0.35804556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936583534606605 × 6371000     		du = 286.05671912885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35800066)-sin(-0.35804556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936599268616413-0.936583534606605)×R²
    abs(0.51350007-0.51345213)×1.57340098076997e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57340098076997e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57340098076997e-05×40589641000000     		ar = 81829.4717044264m²