Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76246 / 73137
↖ ↑ ↗
← S 20.429587°
E 29.415893°		 ← 286.22 m → S 20.429587°
E 29.418640°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
S 20.432160°
E 29.415893°		 ← 286.21 m →
81 910 m²		 S 20.432160°
E 29.418640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581714630126953 y=0.557994842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581714630126953 × 217)
    floor (0.581714630126953 × 131072)
    floor (76246.5)     		tx = 76246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557994842529297 × 217)
    floor (0.557994842529297 × 131072)
    floor (73137.5)     		ty = 73137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76246 / 73137 ti = "17/76246/73137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76246/73137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76246 ÷ 217
    76246 ÷ 131072     		x = 0.581710815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73137 ÷ 217
    73137 ÷ 131072     		y = 0.557991027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581710815429688 × 2 - 1) × π
    0.163421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51340419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557991027832031 × 2 - 1) × π
    -0.115982055664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.364368374012047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51340419} λ = 0.51340419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.364368374012047))-π/2
    2×atan(0.694635262027942)-π/2
    2×0.607116387357414-π/2
    1.21423277471483-1.57079632675     		φ = -0.35656355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51340419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.415893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35656355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.429587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76246 KachelY 73137 0.51340419 -0.35656355 29.415893 -20.429587
    Oben rechts KachelX + 1 76247 KachelY 73137 0.51345213 -0.35656355 29.418640 -20.429587
    Unten links KachelX 76246 KachelY + 1 73138 0.51340419 -0.35660847 29.415893 -20.432160
    Unten rechts KachelX + 1 76247 KachelY + 1 73138 0.51345213 -0.35660847 29.418640 -20.432160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35656355--0.35660847) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35656355--0.35660847) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51340419-0.51345213) × cos(-0.35656355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937101867998614 × 6371000     		do = 286.215031488671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51340419-0.51345213) × cos(-0.35660847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937086187457792 × 6371000     		du = 286.210242247887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35656355)-sin(-0.35660847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937101867998614-0.937086187457792)×R²
    abs(0.51345213-0.51340419)×1.56805408219052e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56805408219052e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56805408219052e-05×40589641000000     		ar = 81909.8550839855m²