Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76245 / 73181
↖ ↑ ↗
← S 20.542793°
E 29.413147°		 ← 285.94 m → S 20.542793°
E 29.415893°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
S 20.545365°
E 29.413147°		 ← 285.94 m →
81 778 m²		 S 20.545365°
E 29.415893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581707000732422 y=0.558330535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581707000732422 × 217)
    floor (0.581707000732422 × 131072)
    floor (76245.5)     		tx = 76245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558330535888672 × 217)
    floor (0.558330535888672 × 131072)
    floor (73181.5)     		ty = 73181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76245 / 73181 ti = "17/76245/73181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76245/73181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76245 ÷ 217
    76245 ÷ 131072     		x = 0.581703186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73181 ÷ 217
    73181 ÷ 131072     		y = 0.558326721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581703186035156 × 2 - 1) × π
    0.163406372070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51335626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558326721191406 × 2 - 1) × π
    -0.116653442382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.366477597595329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51335626} λ = 0.51335626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366477597595329))-π/2
    2×atan(0.693171665020762)-π/2
    2×0.606128473035596-π/2
    1.21225694607119-1.57079632675     		φ = -0.35853938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51335626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.413147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35853938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.542793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76245 KachelY 73181 0.51335626 -0.35853938 29.413147 -20.542793
    Oben rechts KachelX + 1 76246 KachelY 73181 0.51340419 -0.35853938 29.415893 -20.542793
    Unten links KachelX 76245 KachelY + 1 73182 0.51335626 -0.35858427 29.413147 -20.545365
    Unten rechts KachelX + 1 76246 KachelY + 1 73182 0.51340419 -0.35858427 29.415893 -20.545365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35853938--0.35858427) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dl = 285.994189999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35853938--0.35858427) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dr = 285.994189999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51335626-0.51340419) × cos(-0.35853938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936410363959576 × 6371000     		do = 285.94416965191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51335626-0.51340419) × cos(-0.35858427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936394610806775 × 6371000     		du = 285.939359237192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35853938)-sin(-0.35858427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936410363959576-0.936394610806775)×R²
    abs(0.51340419-0.51335626)×1.57531528016674e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57531528016674e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57531528016674e-05×40589641000000     		ar = 81777.6833231458m²