Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76243 / 73271
↖ ↑ ↗
← S 20.774091°
E 29.407654°		 ← 285.57 m → S 20.774091°
E 29.410400°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
S 20.776659°
E 29.407654°		 ← 285.56 m →
81 543 m²		 S 20.776659°
E 29.410400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581691741943359 y=0.559017181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581691741943359 × 217)
    floor (0.581691741943359 × 131072)
    floor (76243.5)     		tx = 76243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559017181396484 × 217)
    floor (0.559017181396484 × 131072)
    floor (73271.5)     		ty = 73271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76243 / 73271 ti = "17/76243/73271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76243/73271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76243 ÷ 217
    76243 ÷ 131072     		x = 0.581687927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73271 ÷ 217
    73271 ÷ 131072     		y = 0.559013366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581687927246094 × 2 - 1) × π
    0.163375854492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51326038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559013366699219 × 2 - 1) × π
    -0.118026733398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.370791918561134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51326038} λ = 0.51326038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370791918561134))-π/2
    2×atan(0.690187541834787)-π/2
    2×0.604110019370921-π/2
    1.20822003874184-1.57079632675     		φ = -0.36257629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51326038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.407654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36257629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.774091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76243 KachelY 73271 0.51326038 -0.36257629 29.407654 -20.774091
    Oben rechts KachelX + 1 76244 KachelY 73271 0.51330832 -0.36257629 29.410400 -20.774091
    Unten links KachelX 76243 KachelY + 1 73272 0.51326038 -0.36262111 29.407654 -20.776659
    Unten rechts KachelX + 1 76244 KachelY + 1 73272 0.51330832 -0.36262111 29.410400 -20.776659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36257629--0.36262111) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36257629--0.36262111) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51326038-0.51330832) × cos(-0.36257629) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.93498615819913 × 6371000     		do = 285.5688392582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51326038-0.51330832) × cos(-0.36262111) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.934970260314034 × 6371000     		du = 285.563983634881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36257629)-sin(-0.36262111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93498615819913-0.934970260314034)×R²
    abs(0.51330832-0.51326038)×1.58978850958169e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.58978850958169e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.58978850958169e-05×40589641000000     		ar = 81542.9804940996m²