Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76243 / 73269
↖ ↑ ↗
← S 20.768955°
E 29.407654°		 ← 285.58 m → S 20.768955°
E 29.410400°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
S 20.771523°
E 29.407654°		 ← 285.57 m →
81 546 m²		 S 20.771523°
E 29.410400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581691741943359 y=0.559001922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581691741943359 × 217)
    floor (0.581691741943359 × 131072)
    floor (76243.5)     		tx = 76243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559001922607422 × 217)
    floor (0.559001922607422 × 131072)
    floor (73269.5)     		ty = 73269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76243 / 73269 ti = "17/76243/73269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76243/73269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76243 ÷ 217
    76243 ÷ 131072     		x = 0.581687927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73269 ÷ 217
    73269 ÷ 131072     		y = 0.558998107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581687927246094 × 2 - 1) × π
    0.163375854492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51326038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558998107910156 × 2 - 1) × π
    -0.117996215820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.370696044761894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51326038} λ = 0.51326038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370696044761894))-π/2
    2×atan(0.69025371590874)-π/2
    2×0.604154840470571-π/2
    1.20830968094114-1.57079632675     		φ = -0.36248665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51326038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.407654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36248665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.768955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76243 KachelY 73269 0.51326038 -0.36248665 29.407654 -20.768955
    Oben rechts KachelX + 1 76244 KachelY 73269 0.51330832 -0.36248665 29.410400 -20.768955
    Unten links KachelX 76243 KachelY + 1 73270 0.51326038 -0.36253147 29.407654 -20.771523
    Unten rechts KachelX + 1 76244 KachelY + 1 73270 0.51330832 -0.36253147 29.410400 -20.771523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36248665--0.36253147) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36248665--0.36253147) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51326038-0.51330832) × cos(-0.36248665) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935017948334598 × 6371000     		do = 285.578548783851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51326038-0.51330832) × cos(-0.36253147) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.935002054205995 × 6371000     		du = 285.57369430786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36248665)-sin(-0.36253147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935017948334598-0.935002054205995)×R²
    abs(0.51330832-0.51326038)×1.58941286029224e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.58941286029224e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.58941286029224e-05×40589641000000     		ar = 81545.7531954934m²