Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76241 / 73142
↖ ↑ ↗
← S 20.442455°
E 29.402161°		 ← 286.19 m → S 20.442455°
E 29.404907°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
S 20.445029°
E 29.402161°		 ← 286.19 m →
81 903 m²		 S 20.445029°
E 29.404907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581676483154297 y=0.558032989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581676483154297 × 217)
    floor (0.581676483154297 × 131072)
    floor (76241.5)     		tx = 76241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558032989501953 × 217)
    floor (0.558032989501953 × 131072)
    floor (73142.5)     		ty = 73142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76241 / 73142 ti = "17/76241/73142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76241/73142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76241 ÷ 217
    76241 ÷ 131072     		x = 0.581672668457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73142 ÷ 217
    73142 ÷ 131072     		y = 0.558029174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581672668457031 × 2 - 1) × π
    0.163345336914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51316451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558029174804688 × 2 - 1) × π
    -0.116058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.364608058510147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51316451} λ = 0.51316451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.364608058510147))-π/2
    2×atan(0.694468788675138)-π/2
    2×0.607004087660743-π/2
    1.21400817532149-1.57079632675     		φ = -0.35678815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51316451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.402161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35678815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.442455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76241 KachelY 73142 0.51316451 -0.35678815 29.402161 -20.442455
    Oben rechts KachelX + 1 76242 KachelY 73142 0.51321245 -0.35678815 29.404907 -20.442455
    Unten links KachelX 76241 KachelY + 1 73143 0.51316451 -0.35683307 29.402161 -20.445029
    Unten rechts KachelX + 1 76242 KachelY + 1 73143 0.51321245 -0.35683307 29.404907 -20.445029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35678815--0.35683307) × R
    4.49199999999483e-05 × 6371000     		dl = 286.185319999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35678815--0.35683307) × R
    4.49199999999483e-05 × 6371000     		dr = 286.185319999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51316451-0.51321245) × cos(-0.35678815) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937023446386236 × 6371000     		do = 286.191079510341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51316451-0.51321245) × cos(-0.35683307) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937007756391438 × 6371000     		du = 286.18628738207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35678815)-sin(-0.35683307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937023446386236-0.937007756391438)×R²
    abs(0.51321245-0.51316451)×1.56899947980627e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.56899947980627e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.56899947980627e-05×40589641000000     		ar = 81902.9999660761m²