Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76240 / 74352
↖ ↑ ↗
← S 23.523700°
E 29.399414°		 ← 280.04 m → S 23.523700°
E 29.402161°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
S 23.526218°
E 29.399414°		 ← 280.04 m →
78 413 m²		 S 23.526218°
E 29.402161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581668853759766 y=0.567264556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581668853759766 × 217)
    floor (0.581668853759766 × 131072)
    floor (76240.5)     		tx = 76240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567264556884766 × 217)
    floor (0.567264556884766 × 131072)
    floor (74352.5)     		ty = 74352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76240 / 74352 ti = "17/76240/74352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76240/74352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76240 ÷ 217
    76240 ÷ 131072     		x = 0.5816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74352 ÷ 217
    74352 ÷ 131072     		y = 0.5672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.134521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.422611707050415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51311657} λ = 0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.422611707050415))-π/2
    2×atan(0.655333044916426)-π/2
    2×0.580115154263954-π/2
    1.16023030852791-1.57079632675     		φ = -0.41056602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41056602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.523700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76240 KachelY 74352 0.51311657 -0.41056602 29.399414 -23.523700
    Oben rechts KachelX + 1 76241 KachelY 74352 0.51316451 -0.41056602 29.402161 -23.523700
    Unten links KachelX 76240 KachelY + 1 74353 0.51311657 -0.41060997 29.399414 -23.526218
    Unten rechts KachelX + 1 76241 KachelY + 1 74353 0.51316451 -0.41060997 29.402161 -23.526218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41056602--0.41060997) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41056602--0.41060997) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51311657-0.51316451) × cos(-0.41056602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916895055063869 × 6371000     		do = 280.043350695039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51311657-0.51316451) × cos(-0.41060997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.916877512486351 × 6371000     		du = 280.037992740319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41056602)-sin(-0.41060997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916895055063869-0.916877512486351)×R²
    abs(0.51316451-0.51311657)×1.75425775187366e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75425775187366e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75425775187366e-05×40589641000000     		ar = 78412.9143152347m²