Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7624 / 6696
↖ ↑ ↗
← N 31.203405°
W 12.480469°		 ← 2 089.76 m → N 31.203405°
W 12.458496°		 →
↑
2 089.94 m
↓
↑
2 089.94 m
↓
N 31.184609°
W 12.480469°		 ← 2 090.18 m →
4 367 920 m²		 N 31.184609°
W 12.458496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465362548828125 y=0.408721923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465362548828125 × 214)
    floor (0.465362548828125 × 16384)
    floor (7624.5)     		tx = 7624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408721923828125 × 214)
    floor (0.408721923828125 × 16384)
    floor (6696.5)     		ty = 6696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7624 / 6696 ti = "14/7624/6696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7624/6696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7624 ÷ 214
    7624 ÷ 16384     		x = 0.46533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6696 ÷ 214
    6696 ÷ 16384     		y = 0.40869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46533203125 × 2 - 1) × π
    -0.0693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21782527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40869140625 × 2 - 1) × π
    0.1826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.573708814652832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21782527} λ = -0.21782527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573708814652832))-π/2
    2×atan(1.77483740276042)-π/2
    2×1.05769924050374-π/2
    2.11539848100748-1.57079632675     		φ = 0.54460215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21782527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54460215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.203405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7624 KachelY 6696 -0.21782527 0.54460215 -12.480469 31.203405
    Oben rechts KachelX + 1 7625 KachelY 6696 -0.21744178 0.54460215 -12.458496 31.203405
    Unten links KachelX 7624 KachelY + 1 6697 -0.21782527 0.54427411 -12.480469 31.184609
    Unten rechts KachelX + 1 7625 KachelY + 1 6697 -0.21744178 0.54427411 -12.458496 31.184609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54460215-0.54427411) × R
    0.000328039999999974 × 6371000     		dl = 2089.94283999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54460215-0.54427411) × R
    0.000328039999999974 × 6371000     		dr = 2089.94283999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21782527--0.21744178) × cos(0.54460215) × R
    0.000383489999999986 × 0.855333475735648 × 6371000     		do = 2089.76339829937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21782527--0.21744178) × cos(0.54427411) × R
    0.000383489999999986 × 0.855503379964959 × 6371000     		du = 2090.1785108253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54460215)-sin(0.54427411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855333475735648-0.855503379964959)×R²
    abs(-0.21744178--0.21782527)×0.000169904229311069×R²
    0.000383489999999986×0.000169904229311069×6371000²
    0.000383489999999986×0.000169904229311069×40589641000000     		ar = 4367919.87146452m²