Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76239 / 74353
↖ ↑ ↗
← S 23.526218°
E 29.396668°		 ← 279.98 m → S 23.526218°
E 29.399414°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
S 23.528736°
E 29.396668°		 ← 279.97 m →
78 395 m²		 S 23.528736°
E 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581661224365234 y=0.567272186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581661224365234 × 217)
    floor (0.581661224365234 × 131072)
    floor (76239.5)     		tx = 76239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567272186279297 × 217)
    floor (0.567272186279297 × 131072)
    floor (74353.5)     		ty = 74353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76239 / 74353 ti = "17/76239/74353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76239/74353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76239 ÷ 217
    76239 ÷ 131072     		x = 0.581657409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74353 ÷ 217
    74353 ÷ 131072     		y = 0.567268371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581657409667969 × 2 - 1) × π
    0.163314819335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51306864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567268371582031 × 2 - 1) × π
    -0.134536743164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.422659643950035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51306864} λ = 0.51306864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.422659643950035))-π/2
    2×atan(0.655301631034982)-π/2
    2×0.580093177921073-π/2
    1.16018635584215-1.57079632675     		φ = -0.41060997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51306864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.396668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41060997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.526218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76239 KachelY 74353 0.51306864 -0.41060997 29.396668 -23.526218
    Oben rechts KachelX + 1 76240 KachelY 74353 0.51311657 -0.41060997 29.399414 -23.526218
    Unten links KachelX 76239 KachelY + 1 74354 0.51306864 -0.41065392 29.396668 -23.528736
    Unten rechts KachelX + 1 76240 KachelY + 1 74354 0.51311657 -0.41065392 29.399414 -23.528736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41060997--0.41065392) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41060997--0.41065392) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51306864-0.51311657) × cos(-0.41060997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916877512486351 × 6371000     		do = 279.979578474354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51306864-0.51311657) × cos(-0.41065392) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916859968137789 × 6371000     		du = 279.974221096462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41060997)-sin(-0.41065392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916877512486351-0.916859968137789)×R²
    abs(0.51311657-0.51306864)×1.75443485616045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75443485616045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75443485616045e-05×40589641000000     		ar = 78395.0578266788m²