Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76238 / 74170
↖ ↑ ↗
← S 23.064570°
E 29.393921°		 ← 281.01 m → S 23.064570°
E 29.396668°		 →
↑
281.02 m
↓
↑
281.02 m
↓
S 23.067097°
E 29.393921°		 ← 281.01 m →
78 970 m²		 S 23.067097°
E 29.396668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581653594970703 y=0.565876007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581653594970703 × 217)
    floor (0.581653594970703 × 131072)
    floor (76238.5)     		tx = 76238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565876007080078 × 217)
    floor (0.565876007080078 × 131072)
    floor (74170.5)     		ty = 74170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76238 / 74170 ti = "17/76238/74170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76238/74170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76238 ÷ 217
    76238 ÷ 131072     		x = 0.581649780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74170 ÷ 217
    74170 ÷ 131072     		y = 0.565872192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581649780273438 × 2 - 1) × π
    0.163299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51302070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.565872192382812 × 2 - 1) × π
    -0.131744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.413887191319565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51302070} λ = 0.51302070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.413887191319565))-π/2
    2×atan(0.661075522117032)-π/2
    2×0.584121816117498-π/2
    1.168243632235-1.57079632675     		φ = -0.40255269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51302070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.393921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40255269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.064570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76238 KachelY 74170 0.51302070 -0.40255269 29.393921 -23.064570
    Oben rechts KachelX + 1 76239 KachelY 74170 0.51306864 -0.40255269 29.396668 -23.064570
    Unten links KachelX 76238 KachelY + 1 74171 0.51302070 -0.40259680 29.393921 -23.067097
    Unten rechts KachelX + 1 76239 KachelY + 1 74171 0.51306864 -0.40259680 29.396668 -23.067097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40255269--0.40259680) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dl = 281.024809999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40255269--0.40259680) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dr = 281.024809999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51302070-0.51306864) × cos(-0.40255269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920063929854971 × 6371000     		do = 281.011206623078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51302070-0.51306864) × cos(-0.40259680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920046648062204 × 6371000     		du = 281.005928318734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40255269)-sin(-0.40259680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920063929854971-0.920046648062204)×R²
    abs(0.51306864-0.51302070)×1.72817927666102e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72817927666102e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72817927666102e-05×40589641000000     		ar = 78970.3792946991m²