Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76237 / 74195
↖ ↑ ↗
← S 23.127731°
E 29.391174°		 ← 280.88 m → S 23.127731°
E 29.393921°		 →
↑
280.83 m
↓
↑
280.83 m
↓
S 23.130257°
E 29.391174°		 ← 280.87 m →
78 880 m²		 S 23.130257°
E 29.393921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581645965576172 y=0.566066741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581645965576172 × 217)
    floor (0.581645965576172 × 131072)
    floor (76237.5)     		tx = 76237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566066741943359 × 217)
    floor (0.566066741943359 × 131072)
    floor (74195.5)     		ty = 74195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76237 / 74195 ti = "17/76237/74195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76237/74195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76237 ÷ 217
    76237 ÷ 131072     		x = 0.581642150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74195 ÷ 217
    74195 ÷ 131072     		y = 0.566062927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581642150878906 × 2 - 1) × π
    0.163284301757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51297276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566062927246094 × 2 - 1) × π
    -0.132125854492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.415085613810066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51297276} λ = 0.51297276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.415085613810066))-π/2
    2×atan(0.660283748877599)-π/2
    2×0.583570632978562-π/2
    1.16714126595712-1.57079632675     		φ = -0.40365506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51297276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.391174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40365506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.127731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76237 KachelY 74195 0.51297276 -0.40365506 29.391174 -23.127731
    Oben rechts KachelX + 1 76238 KachelY 74195 0.51302070 -0.40365506 29.393921 -23.127731
    Unten links KachelX 76237 KachelY + 1 74196 0.51297276 -0.40369914 29.391174 -23.130257
    Unten rechts KachelX + 1 76238 KachelY + 1 74196 0.51302070 -0.40369914 29.393921 -23.130257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40365506--0.40369914) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dl = 280.833680000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40365506--0.40369914) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dr = 280.833680000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51297276-0.51302070) × cos(-0.40365506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919631497332274 × 6371000     		do = 280.879130599834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51297276-0.51302070) × cos(-0.40369914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919614182596515 × 6371000     		du = 280.873842233852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40365506)-sin(-0.40369914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919631497332274-0.919614182596515)×R²
    abs(0.51302070-0.51297276)×1.73147357583892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73147357583892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73147357583892e-05×40589641000000     		ar = 78879.5773186395m²