Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76233 / 73191
↖ ↑ ↗
← S 20.568510°
E 29.380188°		 ← 285.90 m → S 20.568510°
E 29.382934°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
S 20.571082°
E 29.380188°		 ← 285.89 m →
81 746 m²		 S 20.571082°
E 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581615447998047 y=0.558406829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581615447998047 × 217)
    floor (0.581615447998047 × 131072)
    floor (76233.5)     		tx = 76233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558406829833984 × 217)
    floor (0.558406829833984 × 131072)
    floor (73191.5)     		ty = 73191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76233 / 73191 ti = "17/76233/73191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76233/73191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76233 ÷ 217
    76233 ÷ 131072     		x = 0.581611633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73191 ÷ 217
    73191 ÷ 131072     		y = 0.558403015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581611633300781 × 2 - 1) × π
    0.163223266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51278102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558403015136719 × 2 - 1) × π
    -0.116806030273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.36695696659153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51278102} λ = 0.51278102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.36695696659153))-π/2
    2×atan(0.692839459646346)-π/2
    2×0.60590404887125-π/2
    1.2118080977425-1.57079632675     		φ = -0.35898823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51278102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.380188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35898823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.568510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76233 KachelY 73191 0.51278102 -0.35898823 29.380188 -20.568510
    Oben rechts KachelX + 1 76234 KachelY 73191 0.51282895 -0.35898823 29.382934 -20.568510
    Unten links KachelX 76233 KachelY + 1 73192 0.51278102 -0.35903311 29.380188 -20.571082
    Unten rechts KachelX + 1 76234 KachelY + 1 73192 0.51282895 -0.35903311 29.382934 -20.571082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35898823--0.35903311) × R
    4.48799999999694e-05 × 6371000     		dl = 285.930479999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35898823--0.35903311) × R
    4.48799999999694e-05 × 6371000     		dr = 285.930479999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(-0.35898823) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.936252765089423 × 6371000     		do = 285.896044940332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(-0.35903311) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.936236996584442 × 6371000     		du = 285.891229837641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35898823)-sin(-0.35903311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936252765089423-0.936236996584442)×R²
    abs(0.51282895-0.51278102)×1.5768504980751e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5768504980751e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5768504980751e-05×40589641000000     		ar = 81745.7049812563m²