Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76230 / 73163
↖ ↑ ↗
← S 20.496491°
E 29.371948°		 ← 286.09 m → S 20.496491°
E 29.374695°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
S 20.499065°
E 29.371948°		 ← 286.09 m →
81 856 m²		 S 20.499065°
E 29.374695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581592559814453 y=0.558193206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581592559814453 × 217)
    floor (0.581592559814453 × 131072)
    floor (76230.5)     		tx = 76230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558193206787109 × 217)
    floor (0.558193206787109 × 131072)
    floor (73163.5)     		ty = 73163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76230 / 73163 ti = "17/76230/73163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76230/73163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76230 ÷ 217
    76230 ÷ 131072     		x = 0.581588745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73163 ÷ 217
    73163 ÷ 131072     		y = 0.558189392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581588745117188 × 2 - 1) × π
    0.163177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51263720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558189392089844 × 2 - 1) × π
    -0.116378784179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.365614733402168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51263720} λ = 0.51263720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365614733402168))-π/2
    2×atan(0.693770036149607)-π/2
    2×0.606532531646451-π/2
    1.2130650632929-1.57079632675     		φ = -0.35773126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51263720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.371948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35773126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.496491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76230 KachelY 73163 0.51263720 -0.35773126 29.371948 -20.496491
    Oben rechts KachelX + 1 76231 KachelY 73163 0.51268514 -0.35773126 29.374695 -20.496491
    Unten links KachelX 76230 KachelY + 1 73164 0.51263720 -0.35777617 29.371948 -20.499065
    Unten rechts KachelX + 1 76231 KachelY + 1 73164 0.51268514 -0.35777617 29.374695 -20.499065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35773126--0.35777617) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35773126--0.35777617) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51263720-0.51268514) × cos(-0.35773126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936693633022086 × 6371000     		do = 286.090346018871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51263720-0.51268514) × cos(-0.35777617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936677906839994 × 6371000     		du = 286.085542838069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35773126)-sin(-0.35777617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936693633022086-0.936677906839994)×R²
    abs(0.51268514-0.51263720)×1.57261820920018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57261820920018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57261820920018e-05×40589641000000     		ar = 81855.9432751773m²