Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76229 / 73166
↖ ↑ ↗
← S 20.504210°
E 29.369202°		 ← 286.02 m → S 20.504210°
E 29.371948°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
S 20.506782°
E 29.369202°		 ← 286.01 m →
81 817 m²		 S 20.506782°
E 29.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581584930419922 y=0.558216094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581584930419922 × 217)
    floor (0.581584930419922 × 131072)
    floor (76229.5)     		tx = 76229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558216094970703 × 217)
    floor (0.558216094970703 × 131072)
    floor (73166.5)     		ty = 73166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76229 / 73166 ti = "17/76229/73166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76229/73166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76229 ÷ 217
    76229 ÷ 131072     		x = 0.581581115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73166 ÷ 217
    73166 ÷ 131072     		y = 0.558212280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581581115722656 × 2 - 1) × π
    0.163162231445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51258927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558212280273438 × 2 - 1) × π
    -0.116424560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.365758544101028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51258927} λ = 0.51258927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365758544101028))-π/2
    2×atan(0.693670271769625)-π/2
    2×0.606465180059521-π/2
    1.21293036011904-1.57079632675     		φ = -0.35786597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51258927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.369202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35786597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.504210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76229 KachelY 73166 0.51258927 -0.35786597 29.369202 -20.504210
    Oben rechts KachelX + 1 76230 KachelY 73166 0.51263720 -0.35786597 29.371948 -20.504210
    Unten links KachelX 76229 KachelY + 1 73167 0.51258927 -0.35791087 29.369202 -20.506782
    Unten rechts KachelX + 1 76230 KachelY + 1 73167 0.51263720 -0.35791087 29.371948 -20.506782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35786597--0.35791087) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dl = 286.057900000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35786597--0.35791087) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dr = 286.057900000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51258927-0.51263720) × cos(-0.35786597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936646455813786 × 6371000     		do = 286.016263139778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51258927-0.51263720) × cos(-0.35791087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936630727468234 × 6371000     		du = 286.011460300252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35786597)-sin(-0.35791087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936646455813786-0.936630727468234)×R²
    abs(0.51263720-0.51258927)×1.57283455527457e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57283455527457e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57283455527457e-05×40589641000000     		ar = 81816.5246683161m²